المضاعف المشترك الأصغر لعددين طبيعيين
• تمارين ومشكلات
• حلول التمارين والمشكلات
تعريف:
يكون عدد طبيعي Pأوليا إذا وفقط إذا كان P≠1و Pيقبل القسمة على 1وعلى Pفقط.
نظرية:
كل عدد طبيعي aغير أولي وأكبر تماما من 1يقبل على الأقل قاسما أوليا pبحيث
2 [size=32]≤ [/size]ap
. قاعدة :
ليكن aعددا طبيعيا بحيث a > 3إذا كان aلا يقبل القسمة على أي من الأعداد التي مرتبتها أقل
من أو تساوي aفإن aأولي.
. جدول الأعداد الأولية الأقل من : 100
2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 –
17 – 18 - 19 – 20 – 21 – 22 – 23 – 24 – 25 – 26 – 27 – 28 – 29 – 30
– 31 – 32 – 33 – 34 – 35 – 36 – 37 – 38 – 39 – 40 – 41 – 42 – 43 –
44 – 45 – 46 – 47 – 48 – 49 – 50 – 51 – 52 – 53 – 54 – 55 – 56 – 57
– 58 – 59 – 60 – 61 – 62 – 63 – 64 – 65 – 66 - 67- 68 – 69 – 70 –
71 – 72 - 73 – 74 - 75 – 76 – 77 – 78 – 79 – 80 – 81 – 82 – 83 – 84
– 85 – 86 – 87 – 88 – 89 – 90 – 91 – 92 – 93 – 94 – 95 – 96 – 97 –
98 – 99 – 100
• تعريف و نظرية:
• التعرف على أولية عدد أكبر من : 3
2أولي نشطب على مضاعفات 2بدءا من 22
3أولي نشطب على مضاعفات 3بدءا من 32
5أولي نشطب على مضاعفات 5بدءا من 52
7أولي نشطب على مضاعفات 7بدءا من 72
لا داعي أن نواصل, لأن العدد الأولي الذي يأتي بعد 7هو 11و 100 < 112منه جميع الأعداد
الغير مشطب عليها هي أعداد أولية.
مثالان :
• المثال الأول : هل العدد 509أولي ؟
لنقسم 509على الأعداد الأولية المتسابقة إلى غاية أن نستطيع الحكم 509لا يقبل القسمة على 2
ولا على 3ولا على .5
509 = 7 x 72 + 5
509 = 11 x 46 + 3
509 = 17 x 29 + 16
509 = 19 x 26 + 15
509 = 23 x 22 + 3
ولدينا 232 > 509منه
ملاحظة :
حتى نتجنب حساب مربع القاسم المشترك في كل مرة, لاحظ أن القواسم تتصاعد وحواصل
القسمات تتناقص نكتفي بحساب مربع القاسم الممتحن عندما نصل إلى عملية قسمة حاصلها أقل تماما
من قاسمها.
• المثال الثاني : هل العدد 2561أولي ؟
2560لا يقبل القسمة على 2ولا على 3ولا على 5
2561 = 7 x 365 + 6
2561 = 11 x 323 + 9
2561 = 13 x 197 + 0
منه 2561يقبل القسمة على 13وبالتالي
509أولي
2561ليس أوليا
. تحليل عدد طبيعي إلى جداء عوامل أولية
النظرية :
كل عدد طبيعي غير أولي وأكبر تماما من 1يمكن تحليله إلى جداء عوامل أولية
مثال: تحليل 396إلى جداء عوامل أولية
أ. القاعدة :
للحصول على القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين كل منهما أكبر تماما من: 1
.1نحلل كلا من هذين العددين إلى جداء عوامل أولية.
.2نحسب جداء العوامل الأولية المشتركة بين التحليلين حيث يؤخذ كل عامل من هذه العوامل
مرة واحدة فقط وبأصغر أس.
في حالة ما يكون التحليلان لا يحتويان على عوامل أولية مشتركة بينهما: يكون القاسم المشترك
الأكبر للعدين المقترحين هو 1ونقول عندئذ عن هذين العددين أنهما أوليان فيما بينهما.
• نرمز بالرمز ) (a, bإلى القاسم المشترك الأكبر للعددين aو b
720 = 24 x 32 x 5 : مثال
6300= 22 x 32 x 52 x 7
والقاسم المشترك الأكبر للعدين 720و 6300هو 22 x 32 x 5
180 أي
إذا رمزنا إلى القاسم المشترك الأكبر بالرمز ) PGCDكما هو معمول به.(
• القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين :
396
198
99
33
11
2233
11
PGCD (720 ,6300) = 180
ب. طريقة أخرى لحساب القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين :
6300 = 720 x 8 + 540 :لدينا
720 = 540 x 1 + 180
540 = 180 x 3 + 0
PGCD (720 ,6300) لحساب
.1قمنا بالقسمة الإقليدية لأكبرهما على أصغرهما.
.2قمنا بمواصلة عمليات قسمات إقليدية بحيث :
المقسوم لعملية هو القاسم لسابقتها
والقاسم لعملية هو الباقي لسابقتها
وتوقفنا عندما حصلنا على باق معدوم )لا يمكن أن تقسم عليه (
فعندئذ القاسم المشترك الأكبر للعددين هو آخر باق غير معدوم )أو آخر قاسم( من بواقي )قواسم(
العمليات المنجزة.
والطريقة المذكورة هنا تسمى " طريقة حساب القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين
باستعمال " خوارزمية إقليدس "
طريقة عملية لتنظيم الحسابات
لنحسب ) PGCD (1800 ,1712استعمال خوارزمية إقليدس
PGCD (1800 ,1712) = 8 إذن

حاصل	1	19	2	5
مقسوم-قاسم	1800	1712	88	40	8
باقي	088	40 832	0	8

ج. خاصية :
مجموعة القواسم المشتركة لعددين طبيعيين غير معدومين هي مجموعة قواسم المشترك
الأكبر لهذين العددين.

أ. القاعدة :
للحصول على المضاعف المشترك الأصغر لعددين طبيعيين كل منهما أكبر تماما من :1
.1نحلل كلا من العددين إلى جداء عوامل أولية.
.2نحسب جداء هذه العوامل بحيث يوخذ كل عامل مرة واحدة فقط وبأكبر أس.
• نرمز بالرمز ) (a, bإلى المضاعف المشترك الأصغر للعددين aو .b
مثال :
792 = 23 x 32 x 11
2100 = 22 x 3 x 52 x 7
PPCM (792 ,2100) = 23 x 32 x 52 x 11
= 138600
ب. خاصية :
مجموعة المضاعفات المشتركة لعددين طبيعيين غير معدومين هي مجموعة مضاعفات
المضاعف المشترك الأصغر لهذين العددين.
• المضاعف المشترك الأصغر لعددين طبيعيين :
• تمارين ومشكلات :
.1قل )مع التعليل( عن كل من الأعداد التالية إن كان أوليا :
.1277 ,119 ,277 ,407 ,667 ,373
.2حلل إلى جداء عوامل أولية كلا من الأعداد
16335 ,2730 ,1728 ,312 ,180
.3حلل إلى جداء عوامل أولية كلا من الأعداد c, b,aالموالية
a = 16x10x15x18
b=8x36x20x18x4a5
c =17x48x25x32x63
.4أحسب القاسمالمشترك الأكبر للعددين aو bفي كل حالة من الحالات التالية :
b = 720 وa = 630 .1
b = 590 وa = 810 .2
b = 2310 وa = 2730 .3
.5أحسب المضاعف المشترك الأصغر للعددين aو bفي كل حالة من الحالات التالية :
b = 1800 وa = 675 .1
b = 910 وa = 640 .2
b = 3465 وa = 2910 .3
n .6عدد تلاميذ مترشحين إلى امتحان, بحيث nأقل من 700و nأكبر من 600يراد تفويج
هؤلاء التلاميذ فلوحظ ما يلي إذا كونت أفواج تضم 20تلميذا أو أفواج تضم 24تلميذا في
كل مرة يبقى 9تلاميذ غير مفوجين.
ما هو عدد هؤلاء التلاميذ ؟
• حلول التمارين والمشكلات:
تمرين : 01
تحديد العدد الأولي من بين الأعداد الطبيعية المعطاة :
• 373لا يقبل القسمة على أي عدد أولي من الأعداد التالية :
23 ،19 ،17 ،13 ،11 ،7 ،3 ،2
ولكن: 373 < 232ومنه: 373أولي.
• 667ليس أوليا لأن: 29 × 23 = 667
أي 667يقبل أكثر من قاسمين.
وبنفس الكيفية يكون التعامل مع الأعداد الطبيعية المتبقية.
تمرين : 02
لنحلل إلى جداء عوامل أولية كلا من الأعداد المعطاة.
5× 32 × 22 = 180 •
13× 3× 23 = 312 •
33 × 26 = 1728 •
13× 7 × 5× 3× 2 = 2730 •
112 × 5× 33 = 16335 •
تمرين : 03
لنحلل إلى جداء عوامل أولية كلا من الأعداد المعطاة
•
a = 26 × 33 × 52
•
b = 211 × 34 × 52
c = 29 × 33 × 52 × 7 ×17 •
تمرين : 04
لنحسب القاسم المشترك الأكبر للعددين aو bفي كل حالة من الحالات المعطاة :
b = 720 وa = 630 .1
b = 24 × 32 × 5 وa = 2× 32 × 5× 7 : لدينا
P.G.C.D(a,b) = 2× 32 × 5 = 90 : ومنه
b = 590 وa = 810 .2
لنحسب ) PGCD(810,590باستعمال خوارزمية إقليدس
حاصل1 2 1 2 7
810 590 220 150 70 10
مقسوم-
قاسم
باقي220 150 70 0
.3باستعمال الطريقتين السابقتين نجد أن :
PGCD(2730,2310) = 210
تمرين : 05
لنحسب المضاعف المشترك الأصغر للعددين aو bفي كل حالة من الحالات المعطاة :
b =1800 وa = 675 .1
b = 23 × 32 × 52 وa = 33 × 52 : لدينا
PPCM (720,630) = 23 × 33 × 52 : ومنه
=5400
b = 910 وa=640 .2
b = 27 × 5 وb = 2× 5× 7 ×13 : لدينا
PPCM (640,910) = 27 × 5× 7 ×13 : ومنه
= 58240
b = 3465 وa = 2910 .3
b = 32 × 5× 7 ×11 وa = 2× 3× 5× 97 : لدينا
PPCM (2910,3465) = 2× 32 × 5× 7 ×11 :ومنه
= 672210 < 97
تمرين : 06
تعيين n
الجملة " إذا كونا أفواج تضم 20تلميذ يبقى غير مفوجين "
يمكننا صياغتها على النحو:
) n = a × 20 + 9حيث: aعدد الأفواج(
والجملة " إذا كونا أفواجا تضم 24تلميذ يبقى 9تلاميذ غير مفوجين "
يمكننا صياغتها على النحو :
) n = b × 24 + 9حيث : bعدد الأفواج(
وعليه يصبح لدينا :

- = ×
- = ×
9 24
9 20
n b
n a
وعليه ( ) n - 9مضاعف لـ 20ومضاعف لـ .24وهذا يعني أنه مضاعف مشترك فهو إذن
مضاعف للعدد : )PPCM (24,20
أي: ( ) n - 9مضاعف لـ: 120
وبالتالي : n - 9 = 120× k : k ∈ N
n = 120k + 9 : أي
مع العلم أن : 600 ≤ n ≤ 700
ومنه : k = 5ومنه: n