علاقة الرياضيات بالمنطق

هل ترتد الرياضيات في حقيقتها إلى أصول المنطق؟

كيفية الموضوع: تركيبي ،استنتاجي، "الرياضيات +المنطق".

نص السؤال: هل يمكن رد الرياضيات إلى أصول منطقية؟

كشف الإشكالية: الرياضيات وعلاقتها بالمنطق

الطريقة: جدلية "طرح المشكلة :المقدمة: إذا ما اعتبرنا أن الرياضيات هي دراسة المقادير الكمية القابلة للقياس والمنطق هو ذلك العلم الذي يعصم العقل من الوقوع في الزلل، كما أن الحدود الرياضية حدود كمية ، بينما الحدود المنطقية حدود كيفية، وهذا ما جعل الجدل يحتدم بين الفلاسفة والعلماء ، حول ما إذا كانت هناك علاقة بين الرياضيات والمنطق،فمنهم من أوجب هذه العلاقة ومنهم من رفضها قطعا ، لذا جاز لنا أن نتساءل: هل يمكن إرجاع الرياضياتإلى أسس منطقية؟. بتعبير أدق هل ترتد الرياضيات إلى أصول منطقية ؟.

التحليل: محاولة حل المشكلة : الموقف الأول: يرى جملة من الفلاسفة والمفكرين،بأن العمليات البرهانية في الرياضيات ،لا تتم إلا إذا انطلقت أساسا من المبادئ " المقدمات" وصولا إلى النتائج ، وهذا ما يجسده المنطق أيضا في عملياته القياسية خاصة في القضايا ، وهو ما دفع بالفيلسوف اليوناني أرسطو طاليس إلى الاعتقاد بان البرهان الرياضي نوع من الاستدلال المنطقي ،وهو ما جعل فيما بعد الكثير من المناطقة يعتقدون بان العلاقة بين الرياضيات المنطق مبنية على التلاحم والانسجام ولا أدل من ذلك قولبيرتراند راسل" المنطق شباب الرياضيات والرياضيات تمثل طور الرجولة للمنطق". وهذا ما يجسد حقيقة الالتحام بالإضافة إلى أن كلا منهما استدلال يقوم على مبادئ العقل ، كما يعتمدان على الحدس والاستنتاج ،كما أن راسل "ربط بين الرياضيات والقياس ربطا محكما ، رافضا الوصل بينهما .واعتبرهما شيئا واحدا حيث لا يمكن في العصر الحالي الفصل بينهما وبعد التطور الذي حصل فيهما يصعب إيجاد فاصل بينهما، بحيث توضع الرياضيات على اليمين والمنطق على الشمال.

النقد :"المناقشة":لكن نلاحظ أن ما قاله أرسطو: وهو أن البرهان الرياضي نوع من أنواع الاستدلال المنطقي، غير صادق كما هو معلوم في العصر الحالي حيث أنه ظهر فارق بسيط بينهما ،فصدق النتائج في القياس يتوقف أساسا على صدق المقدمات بينما في الرياضيات نجد الصدق الدائم ثم إن التشابه الموجود بينهما لا يجعل لا يجعل شيئا واحدا

الموقف الثاني"نقيض القضية":على النقيض من ذلك يري جملة من الرياضيين والعلماء بان الرياضيات لا ترتد في أصلها إلى المنطق وهذا ما نادى به العالم بوانكاريه حيث اثبت أن الاستدلال الرياضي استدلال توليدي ،أما الاستدلال المنطقي فاستدلال تكراري نتائجه متضمنة في المقدمات

مثلا:البرهنة على أن : (س+1)=0 تكون على النحو التالي (س+1)=0 (س+1-1)=(0-1) س=1- فنلاحظ هنا أن النتيجة (1-) نتيجة زائدة عن المقدمات ، وإنما تولدت عن التحليل، أما بالنسبة للقياس فإننا نجد:

كل إنسان فان (م.ك). سقراط إنسان(م.ص) . سقراط فان(ن) فالنتيجة سقراط فان نتيجة تضمنتها المقدمة الكبرى ولم تضف أي جديد ، وهو ما جعل منه استدلالا عقيما ، على عكس الرياضيات التي نعرف أن نتائجها ابتكارية . وفي نفس المنحى ذهب إ.غوبلوالذي هو الآخر يرفض أن ترتد الرياضيات إلى المنطق بدعوى أن الاستدلال الرياضي استدلال تعميمي ، بينما الاستدلال المنطقي ينتقل من العام إلى الخاص إلى الأكثر خصوصية يرى غوبلو"لو أثبتنا تساوي زاويتي القاعدة في المثلث متساوي الساقين فان ذلك

النقد والمناقشة: لكن رغم هذا الاختلاف والتباين ، فهما قد يمتثلان صوريا.ذلك لان كلا منهما يعتمد في استدلاله على الانطلاق من مقدمات إلى نتائج لازمة عنها لزوما اضطراريا وضروريا .ثم أنه يمكننا أن نلاحظ أن الفصل بينهما بشكل مطلق فيه جانب كبير من التعسف والواقع العلمي يفند ذلك إذا قلنا إن الفصل بشكل كلي غير حقيقي ولا يمكن .

التركيب:وعموما وعلى الرغم من وجود جدل واختلاف دام طويلا بين المناطقة والرياضيين حول ما إذا كان التكامل هو السمة البارزة أم يغلب على ذلك طابع الاختلاف بين المنطق كمفهوم والرياضيات كقيم ،فالقول الصحيح هو أن التكامل هو الصفة الغالبة .ذلك لان المنطق لم يبق في احتضان الفلسفة كما ادعى ثابت الأفندي بل انتقل من اللغة العادية إلى اللغة الرمزية إلى الرياضيات ،وهذا ما يدل على علميته وتطوره .

الخاتمة: وأخيرا يمكننا أن نقول على الرغم من وجود الاختلاف والتباين فان الطبيعة الاستنتاجية لهما تعتمد أساسا على مبادئ العقل "مبدأ الهوية ، مبدأ عدم التناقض" كما يعتمد

المنطق أيضا على الصدق في المقدمات وهو ما تعتمد عليه أيضا الرياضيات