بعض الدروس و التمارين في الرياضيات 4 متوسطإعداد: مصطفى عبد الهادي
تحليل عبارة جبرية
معرفة1:تحليلعبارة جبرية على شكلمجموعأوفرقيعني كتابتها على شكلجداء.
التحليل باستعمال العامل المشترك
بصفة عامة:
k* a +k * b =k* (a + b)
جداء مجموع
k* a – k* b =k* (a – b)
جداء فــــرق
عامل مشترك.Kيسمى
مثال:حلّل العبارات الأتية:
A = 6 x + 18 ;
B = 5 x 2 – 15 x ;
C = (3 x – 1) (x – – (2 x + 4) (x – .
A=6×x+6×3=6×(x+3)=6(x+3)
B=5x×x-5x×3=5x×(x-3)=5x(x-3)
C =(3 x – 1)(x – – (2 x + 4)(x –
C=(x-[(3x-1)-(2x+4) ]
C=(x-(3x-1-2x-4)
C=(x-(x-5)
تطبيقات:
ت1:ضع العدد الموجود بين قوسين كعامل مشترك
لكل عبارة مما يأتي:
a=15x-15 (15).
b=-6x+24 (6).
c=4x-8 (4 ).
s=-50x-75 (25).

ت 2:حلّل العبارات الأتية:
d=8x-12
e=7x^2-21x
f=(x-5)(x+2)-(x-5)(3x-2)
g=2x+3+5x(2x+3)

حلّل العبارات الأتية:
h=4x^2+3x
i=7x^2-x
j=4x^2+8x
k=5x^2-15x
l=2x^2+8x^4
m=5x^3-x^2+2x
n=-4x^3-4x^2+8x^4

:حلّل العبارات الأتية:
h=4x^2+3x
i=7x^2-x
j=4x^2+8x
k=5x^2-15x
l=2x^2+8x^4
m=5x^3-x^2+2x
n=-4x^3-4x^2+8x^4


ت4:حلّل العبارات الأتية:
A=(x+3)(x+5)-3(x+5)
B=(2x+3)(x-4)+(3x-5)(x-4)
C=(3x-1)(x-2)-(2x+5)(3x-1)
D=x(2x+3)-7(2x+3)



E = (x + 1) (x + 7) – (x + 7) ;
F = (2 x – 5) 2 – (2 x – 5) (x + 2) ;
G = 2 x + 1 + 5 x (2 x + 1) – 3 x (2 x + 1) ;
H = (x – 2 + (x – .
ت5: حلّل ثم أحسب ذهنيا كما في المثال الأتي:
12 * 23 – 23 * 11 = 23 * (12 – 11) = 23 * 1 = 23
A = 151 * 47 + 151 * 53 ; B = 13 * 2,3 + 5,7 * 13 ;
C = 32 * 23,5 – 3,5 * 32 ; D = 17 * 47 – 37 * 17 ;
E = 21 * 3,4 + 21 * 5,4 – 0,8 * 21.

التحليل باستعمال المتطابقات الشهيرة




مثال:حلّل العبارات الأتية:
A =x 2 + 6 x + 9 ; B =x 2 – 36 ; C = 4 x 2 – 20 x + 25.
A=x^2+6x+9=x^2+2×x×3+3^2=(x+3)^2


B=x^2-36 =(x)^2-(6)^2=(x+6)(x-6)


C=4x^2-20x+25=(2x)^2-2×2x×5+(5)^2


C=(2x-5)^2




تطبيقات

ت1: حلّل العبارات الأتية:
D =x 2 – 8 x + 16 ;
E = 9 x 2 + 6 x + 1 ;

F = 16 x 2 – 9.
مساعدة
D =x 2 – 8 x + 16 =… 2 – … *x*… + … 2 = (x – …) 2 ;
E = 9 x 2 + 6 x + 1 = (…x) 2 + 2 * 3… * … + 1 2= (…x + …) 2 ;
F = 16 x 2 – 9 = (…x) 2 – … 2= (…x + …) (…x – …).

ت2:حلّل العبارات الأتية:
A =x 2 + 2 x + 1 ;
B =x 2 – 6 x + 9 ;
C =x 2 – 81 ;

D =x 2 + 18 x + 81 ;

E =x 2 + 8 x + 16 ;

F =x 2 – 9 ;

G = 64 – x 2 ;

H =x 2 – 10 x + 25.






ت3:حلّل العبارات الأتية:
A = 4 x 2 – 4 x + 1 ;
B = 9 x 2 + 54 x + 81 ;
C = 25 x 2 – 16 ;

D = 4 x 2 – 28 x + 49 ;

E = 36 x 2 + 36 x + 9 ;

F = 36 x 2 – 9 ;

G = 9 x.2 – 81 ;

H = 9 x 2 – 12 x + 4.

ت3:حلّل العبارات الأتية كما في المثال الأتي:
A = (x + 2) 2 – 16 = (x + 2) 2 – 4 2= [(x + 2) – 4] [(x + 2) + 4] = (x – 2) (x + 6).

B = (3 x – 4) 2 – 49 ;

C = (x + 1) 2 – 9 ;

D = (2 x – 1) 2 – 100 ;

E = 36 – (x – 6) 2 ;

F = (x – 1) 2 – (x + 3) 2 ;

G = (3 x – 7) 2 – (8 x + 2.

ت4:تمثلالكتابةالأتية إجابة التلميذ عبدالرحمان على ورقة الإمتحان:
، هل إجابة عبدالرحمان صحيحة؟علّل.x^2-16x+36=(x-6)^2


تمارين
تمرين1:حلّل العبارات الأتية:

A = 4x² + 4x + 1 - (2x + 1)(3x – 2)
B = (3x – 2)(x + 5) + 9x² - 4
C = 2x + 4 - (x + 2)(x – 5)
D = 8x – 20 + 4x² - 25
E = 2x – 6 – (x – 3)(x – 1)
F = 4x² - 9 + (8x + 12)(x – 3)
G = x² + 6x + 9 - (5x + 15)(x – 7) H = 25x² - 9 + (10x – 6)(2x + 1)
I = 9x² + 6x + 1 – (3x + 1)(x + 2)
J = 9x² - 9 + (x + 1)(2x – 7)
K = 18x² - 2 + (6x – 2)(2x – 5)
L = x² - 10x + 25 – (x – 5)(2x + 3)
M = (3x + 3)(2x + 6) – (x + 1)²(x + 3)
N = 2x – 8 + (x – 4)(2x + 3)


تمرين2:حلّل العبارات الأتية إن أمكن ذلك باستخدام إحدى المتطابقات الشهيرة:

81x² - 18x + 4 = ………………
4x² - 81 = …………….
25x² + 60x + 36 = ……………..
x² - 22x + 121 = ………………
9x² - 49 = ……………………
64 – 16x + x² = ………………..
16x² + 48x + 9 = ……………… h) 64x² - 9 =
x² + 4xy + 4y² =
x4 – 81 =
16x² - 25 =
100 - x² =
4x² - 9 =
36x² - 25 =






المعادلات








 
 




 

[size=37]تعرف على العامل المشترك العامل[/size]

 
 

[size=32]E [/size][size=32] (x + 1) (x + 7) – (x + 7) ;  [/size]
[size=32]            F [/size][size=32] (2 x – 5) ² – (2 x – 5) (x + 2) ;[/size]
[size=32]          G [/size][size=32] 2 x + 1 + 5 x (2 x + 1) – 3 x (2 x + 1) ;[/size]
[size=32]          H [/size][size=32] (x – ² + (x – .[/size]
 

[size=32]معرفة2[/size][size=32]:بجب حفظ المتطابقات الشهيرة الأتية:[/size] a 2 + 2 ab + b 2 (a + b) 2 a 2 – 2 ab + b 2 (a – b) 2 a 2 – b 2 (a + b) (a – b) [size=32]لتحليل عبارة جبرية لاتشمل عاملا مشتركا.[/size]

 
 
 

[size=48]                                                              [/size]

 
 


 
 

حذار من الأقـوا س    4 x 2 (2 x) 2 !

 
 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

في هذا التمرين نستعمل a 2 – b 2 !

B (3 x – 4) ² – 49 ;
 
 

 
 
 
                                                                                       
 

A =  4x² + 4x + 1  -  (2x + 1)(3x – 2) B = (3x – 2)(x + 5) +  9x² - 4 C = 2x + 4  -  (x + 2)(x – 5) D = 8x – 20  +  4x² - 25 E = 2x – 6 – (x – 3)(x – 1) F = 4x² - 9 + (8x + 12)(x – 3) G = x² + 6x + 9  - (5x + 15)(x – 7)

H = 25x² - 9 + (10x – 6)(2x + 1) I = 9x² + 6x + 1 – (3x + 1)(x + 2) J = 9x² - 9  + (x + 1)(2x – 7) K = 18x² - 2 + (6x – 2)(2x – 5) L = x² - 10x + 25 – (x – 5)(2x + 3) M = (3x + 3)(2x + 6) – (x + 1)²(x + 3) N = 2x – 8  +  (x – 4)(2x + 3)

 
 
 

a)   81x² - 18x + 4 = ……………… b)  4x² - 81 = ……………. c)    25x² + 60x + 36 = …………….. d)  x² - 22x + 121 = ……………… e)   9x² - 49 = …………………… f)     64 – 16x + x² = ……………….. g)   16x² + 48x + 9 = ………………

h)   64x² - 9 = i)      x² + 4xy + 4y² = j)      x4 – 81 = k)   16x² - 25 = l)      100 - x² = m)           4x² - 9 = n)  36x² - 25 =

 
 
 
 
 
[size=48]                           [/size]

[size=37]تذكير:[/size] اليك المعادلة  المعادلة. [size=35]هوالطرف الأول لهذه المعادلة[/size][size=35].[/size] [size=35]هوالطرف الثاني لهذه المعادلة .[/size]

[size=48]المعادلات[/size]

حلول معادلة:
التي تحقق المعادلة؟x يعني إيجاد قيم المجهول 4x+7=3x-5 حلول المعادلة
1) تغيير كتابة معادلة دون تغيير حلولها:
*إذا أضفنا (أو طرحنا) نفس العدد إلى طرفي معادلة فإنه لا تتغير حلول هذه المعادلة*.
نضيف 3 إلى طرفيها4x+7=3x-5مثال:لدينا:
4x+10=3x-2 نحصل على المعادلة:
4x+2=3x-10وإذا طرحنا 5 من طرفي المعادلة نحصل على المعادلة:
لها نفس الحلول.4x+7=3x-5 و4x+2=3x-10 و4x+10=3x-2 المعادلات:
نقول إن المعادلات:
متكافئةأيلها نفس الحلول .4x+7=3x-5 و4x+2=3x-10و4x+10=3x-2
*إذاضربنا أو قسمنا طرفي معادلة في نفس العدد(على نفس العدد غير المعدوم)فإنه لاتتغيرحلولها*.
مثال:إليك المعادلة:5x+4=3x-2،نضرب طرفيها في العدد 3
نحصل على المعادلة:15x+12=9x-6
وإذا قسمنا طرفي المعادلة على2 نحصل على المعادلة:5/2 x+2=3/2 x-1.
2) مبدأ حل معادلة:
* لحل معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد،نستبدل هذه المعادلة بمعادلة
أبسط منها وتكافؤها(لها نفس الحلول)ونستعمل طريقة نقل الحدود مع تغيير الإشارات*.
مثال:حل المعادلة: 5x+4=3x-2
خط1:ننقل المجهول في طرف و المعلوم في الطرف الأخر: 5x-3x=-2-4
خط2:نبسط طرفي المعادلة: 5x-3x=-2-4فنحصل على:2x=-6
خط3:نقسم طرفي المعادلة:2x=-6 على العدد 2 نحصل على: x=-3
إذن 3- هو حل لهذه المعادلة.


معادلة جداء معدوم:
*نسمي معادلة جداء معدوم كل معادلة مكتوبة على شكل جداء عوامل يساوي 0.*
مثال: المعادلة:(3x-5)(2x+7)=0هي معادلةجداء معدوم.
نظرية:
**إذاكانab=0معناه:a=0أوb=0.**
*تمكننا هذه النظرية من تحويل معادلة جداء إلى معادلتين من الدرجة الأولى.*
كما يوضح المخطط الأتي:
(3x-5)(2x+7)=0
=0 b x a

3x-5=0أو2x+7=0
مثال: حل المعادلة:(7x-5)(4x+)=0
لدينا:(7x-5)(4x+)=0يعني أن: 7x-5=0أو4x+8=0
x=(-/4=-2أوx=5/7ومنه:7x=5أو4x=-8 ومنه:
إذن :2- و 5/7 هما حلان لهذه المعادلة.


طرائق حل معادلات:
مثال: لنحل المعادلات الثلاث:
(x+4)^2=25

(x+4)^2-25=0

[(x+4)-5][(x+4)+5]=0

(x-1)(x+9)=0

x-1=0 أوx+9=0

x=1أوx=-9



* إذن 1 و 9-هما حلان لهذه المعادلة. (x+1)^2=(2x-1)^2-3x^2


x^2+2x+1=4x^2-4x+1-3x^2


x^2-4x^2+3x^2+2x+4x=1-1

6x=0

x=0



إذن 0 هو حل لهذه المعادلة. x/2+(x+3)/4+x+5=0

2x/4+(x+3)/4+(4x+20)/4=0

(7x+23)/4=0

7x+23=0

7x=-23

x= (-23)/7
إذن(-23)/7 هو حل لهذه المعادلة.
حوّلنا المعادلة إلى معادلة طرفها الثاني
يساويالصفر،ثم فمنا بتحليل الطرف
الأول للحصول على معادلة جداء معدوم قمنا بالنشر و التبسيط
السؤال الذي يطرح نفسه بالنسبة لتلميذ سنة الرابعة متوسط في هذه الحالة .كيف أحل معادلة من هذا النوع(من الدرجة2 أو أكثر)؟.
هل أقو م بالنشر؟ ،هل أقوم بالتحليل؟......إليك المخطط الأتي يوضح لك الإختيار الصحيح:


؟


تمارين
تمرين1:
حل المعادلات الأتية:
a) 7 x= 13 ; b)x – 3 = 12 ; c) – x3= 5 ;
d) 3 x + 10 =28 ; e) 7 – 4 x= 11 ; f) 9 = 2 x + 7.

تمرين 2:
حل المعادلات الأتية:
a) 4 x + 7 = 2 x + 13 ; b)x – 2 = 10 + 5 x ;
c) – 3 x – 8 = – 7 x – 4 ; d) 2 t + 5 = 5 t + 12 ;

e) 7 x – 6 = 6 x + 3، f) 15 x= 7 x + 4.

تمرين3:
حل المعاذلات الأتية:
a)x + (2 x – 3) + (x – 7) = 12 ;
b) 4 (5 x – 7) =32 ;
c) 5 (x + 1) – 3 (x – 2) =48 ;

d) 3 (2 x – 1) – 5 x= 3 x – 1 ;

e) 2 (x – 3) + 3 (x – 1) = 2 x – 3 ;

f) 5 x – 2 (3 x + 1) = 3 (x + 3) – 4 (2 x + 3) ;
g) 8 – 7 (x – 1) + 3 (2 x + 3) = – 4 x.



تمرين 4:حل المعادلات الأتية:
(x + 2) (x – 5) =0 ;
(x – 3) (– 2 x + 3) =0 ;

2 x (3 x – 4) =0 ;

(9 – 5 x) (3 x + 2) =0 ;

(2 x – 7) 2= 0.

4 x 2 – 2 x=0 ;
(3 x – 5) (x + 1) – (3 x – 5) (2 x – 3) =0 ;

(5 x + 7) (2 x + 3) – (5 x + 7) 2=0 ;

9 x 2 – 25 = 0.
تمرين 5:حل المعادلات الأتية:
(2x+3)(x-4)=-(3x-5)(x-4)
(3x-1)(x-2)=(2x+5)(3x-1)
x(2x+3)=7(2x+3)
x 2 + 12 x + 36 = (2 x – 3) (x+ 6) .
7x^2=21x
9 x 2 – 12 x= - 4
(2 x – 1) 2 =100 ;

36 = (x – 6)2 ;

(3 x – 7) 2 = (8 x + 2
.(3x + (2 x + 3) = (3x + 2

ترييض مشكل
حل مسألة تؤول إلى حل معادلة:
** لحل مسألة عن طريق حل معادلةيجب إتباع الخطوات الأتية:
-وضع أو اختيار المجهول المناسب للسؤال.
- وضع المعادلة الملائمة لمعطيات المسألة.
- حل المعادلة.
- التحقق من الحل ثم التصريح بالإجابة عن السؤال المطروح.**
مثال:
اشترى محمد 3كتب و4 أقراص مضغوطة فدفع للتاجر1060DA .إذاعلمت أن سعر الكتاب يزيد عن سعر القرص
بـــ:50DAفماهو سعر