ملزمة الرياضيات - السادس العلمي

1. 1. 2015 / 2016 ‫الرياضيات‬ ‫ملزمة‬ ‫العلمي‬ ‫السادس‬ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬ ‫المنصور‬-‫دراغ‬ ‫حي‬ ‫جامع‬ ‫مجاور‬ 80087430770
   
2. 2. 2015 / 2016 ‫ا‬ ‫الرياضيات‬ ‫ملزمة‬ ‫العلمي‬ ‫السادس‬ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬ ‫المنصور‬-‫دراغ‬ ‫حي‬ ‫جامع‬ ‫مجاور‬ 80087430770
   
3. 3. [ 1 – 1 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫توسيع‬ ‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬5/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770 ‫ا‬‫لفصل‬‫االول‬(‫المركبة‬ ‫االعداد‬): 1]–1[‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫توسيع‬ ‫الى‬ ‫الحاجة‬:‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫نحاول‬ ‫عندما‬+16 = 02 x:‫ان‬ ‫نجد‬ x2 +16 = 0 ⇒ x2 = -16 ⇒ x = ± √−16 = ± √16. √−1 = ± 4√−1 ‫قيمة‬ ‫فما‬√−1‫ي‬ ‫مربعه‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫يوجد‬ ‫وهل‬ ‫؟‬‫س‬‫ا‬‫وي‬(-1).‫كهذا‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ ‫انه‬ ‫الواضح‬ ‫من‬‫والعجز‬ ‫للمعادلة‬ ‫يكون‬ ‫بحيث‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجال‬ ‫في‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫حل‬ ‫عن‬0=16+2 x‫في‬ ‫الرغبة‬ ‫أوجد‬ , ‫حل‬ ‫للمعادلة‬ ‫يكون‬ ‫بحيث‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجال‬ ‫يضم‬ ‫جديد‬ ‫مجال‬ ‫على‬ ‫الحصول‬0=16+2 x‫المجال‬ ‫هذا‬ ‫في‬ ‫حل‬ ( ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫بمجال‬ ‫يسمى‬ ‫ما‬ ‫ابتكار‬ ‫الى‬ ‫ذلك‬ ‫ويدفعنا‬ ‫الجديد‬Complex Number‫فرضن‬ ‫فاذا‬ )‫ـــــــــــــــ‬‫ا‬ ‫ان‬i = √−1‫كلمة‬ ‫من‬ ‫االول‬ ‫الحرف‬ ‫وهو‬(Imaginary Numbers)‫ا‬‫ي‬‫االعداد‬‫الخيالية‬‫حل‬ ‫مجموعة‬ ‫فان‬ ‫المعادلة‬0=16+2 x‫هي‬{4i±} ‫الجبرية‬ ‫الخواص‬ ‫يحقق‬ ‫ولكنه‬ ‫والقياس‬ ‫العد‬ ‫مع‬ ‫تقترن‬ ‫التي‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫ليس‬ ‫هو‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫ان‬‫لألعداد‬‫ما‬ ‫الحقيقية‬ .‫الترتيب‬ ‫خاصية‬ ‫عدا‬ ‫قوى‬i:-i = √−1 i2 = -1 i3 = i2 . i = -1 . i = -i i4 = i2 . i2 = (-1) . (-1) = 1 ⇒ ∴ i4 = 1 :‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫عامة‬ ‫وبصورة‬ i4n + r = ir , n ∈ N . r = 0 , 1 , 2 , 3 … ‫رفع‬ ‫عند‬ ‫انه‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬i‫المجموعة‬ ‫عناصر‬ ‫احد‬ ‫يكون‬ ‫فالناتج‬ ‫موجب‬ ‫صحيح‬ ‫لعدد‬{i , -1 , -i , 1}‫اس‬ ‫نقسم‬ ‫حيث‬ i‫على‬4‫لـ‬ ‫الجديد‬ ‫االس‬ ‫هو‬ ‫والباقي‬i: /‫مثال‬i = i.6 i = 1.6 )4 i = (i.24 = i25 i i99 = i96 . i3 =(i4 )24 . i3 = 124 . i3 = i3 = -i ‫مثال‬1/:‫صورة‬ ‫بابسط‬ ‫يأتي‬ ‫ما‬ ‫اكتب‬- i20 = i24 . i3 = (i4 )6 . i3 = 16 . i3 = -i i08 = i08 . i = (i4 )28 . i = 128 . i = i i0 = i4 . i3 = 8 . i3 = -i i81 = (i4 )4 = 8 i30 = i31 . i2 =(i4 )84 . i2 =184 (-1)= -1 i104 = (i4 )26 = 126 = 1 i10 = i8 . i2 = (i4 )2 . i2 = 8 . i2 = -1 i17 = i16 . i = (i4 )4 . i = 14 . i = i i12n+93 = i12n . i93 = (i4 )3n . (i4 )23 . i = 13n . 1 . i = i :‫تعريف‬‫للعدد‬ ‫يقال‬c = a + bi‫حيث‬a,b‫وان‬ ‫حقيقيان‬ ‫عددان‬√−1i =‫مركبا‬ ‫عددا‬ ,)ComplexNumber( ‫يسمى‬a‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬Real Part‫ويسمى‬b‫التخيلي‬ ‫الجزء‬Imaginary Part‫مجموعة‬ ‫الى‬ ‫ويرمز‬ . ‫بالرمز‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ℂ‫للصيغة‬ ‫ويقال‬a+bi.‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجبرية‬ ‫الصيغة‬ ‫او‬ ‫العادية‬ ‫الصيغة‬
   
4. 4. [ 1 – 1 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫توسيع‬ ‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬6/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770 i -13 = i -13 . (i4 )4 =i -13 .(i16 )= i3 = -i OR i -13 = 1 i131 = i16 i131 = i3 = -i /‫مالحظة‬‫إذا‬‫اسس‬ ‫كانت‬i‫أ‬‫العدد‬ ‫نستبدل‬ ‫ان‬ ‫فيمكن‬ ‫سالبة‬ ‫صحيحة‬ ‫عداد‬(1)( ‫بـ‬ ‫البسط‬ ‫في‬i‫من‬ ‫لقوة‬ ‫مرفوع‬ ) ‫العدد‬ ‫مضاعفات‬(4)‫أكبر‬‫اس‬ ‫يساوي‬ ‫او‬(i). ‫الجذور‬ ‫كتابة‬ ‫يمكن‬ /‫مالحظة‬‫ألي‬‫بداللة‬ ‫سالب‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬i:‫فمثال‬ √−16 = √16 .√−1 = 4 i √−25 = √25 .√−1 = 5 i √−12 = √12 .√−1 = 2√3 i √−15 = √15 .√−1 = √15 i :‫يكون‬ ‫عامة‬ ‫وبصورة‬ √−a = √a .√−1 = √a i , ∀ a ≥ 0 ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫اي‬ ‫ان‬ /‫مالحظة‬c = a + bi‫المرتب‬ ‫للزوج‬ ‫مناظرا‬ ‫جعله‬ ‫يمكن‬(a , b):‫مثال‬ , 2 + 3i = (2,3) -1 + i = (-1 , 1) 2 = 2 + 0 i = (2,0) 3i = 0 + 3 i = (0,3) ‫مثال‬2/‫صورة‬ ‫على‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫أكتب‬a+bi: a) √−100 = √100 .i = 0 +10i b) -1 + √−3 = -1 + √3 i c) 1+√−25 4 = 1 4 + √−25 4 = 1 4 + 5i 4 d) -5 = -5 + 0 i ‫مثل‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫كل‬ ‫ان‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬a‫بالشكل‬ ‫كتابته‬ ‫يمكن‬a + 0i‫او‬(a,0)‫عدد‬ ‫صورة‬ ‫على‬ ‫كتابته‬ ‫يمكن‬ ‫اي‬ , :‫ان‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬ ‫صفر‬ ‫التخيلي‬ ‫جزؤه‬ ‫مركب‬ 2]-[1‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫العمليات‬: ‫ا‬‫ال‬‫او‬/:‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫مثال‬:(25 + 3i)+(7 - 12i) = 32 – 9i‫العدد‬ ‫ان‬ ‫نالحظ‬32 – 9i‫مجموعة‬ ‫ان‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬ ‫مركبا‬ ‫عددا‬ )ً‫ا‬‫ايض‬ ً‫ا‬‫مركب‬ ً‫ا‬‫عدد‬ ‫الناتج‬ ‫يكون‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫جمع‬ ‫عند‬ ‫ان‬ ‫(اي‬ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫مغلقة‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مثال‬3/‫المركبين‬ ‫العددين‬ ‫مجموع‬ ‫جد‬‫ل‬:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ a) 3 + 4 √2 i , 5 - 2√2 i b) 3 , 2 – 5 i c) 1 – 3 i , i /‫الحل‬ a) (3 + 4 √2 i) + (5 - 2√2 i) = 8 + 2√2 i /‫مالحظة‬‫ان‬ ‫اي‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫من‬ ‫جزئية‬ ‫مجموعة‬ ‫هي‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬R ⊂ C. : ‫تعريف‬- ‫ليكن‬i1b+1= a1c,i2b+2= a2c‫حيث‬ℂ∈2,c1c‫فان‬:)i2+ b1) + (b2+ a1(a=2c+1c :‫أن‬ ‫تعلم‬ ‫وكما‬R∈)2+ b1(b,R∈)2+ a1(a.‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫تحت‬ ‫مغلقة‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫الن‬ ∴ (a1 + a2) + (b1 + b2)i ∈ ℂ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫تحت‬ ‫مغلقة‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫ان‬ ‫أي‬
   
5. 5. [ 1 – 1 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫توسيع‬ ‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬0/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770 b) )3 + 0i) + (2 – 5 i) = 5 – 5 i c) (1 – 3i) + (0 + i) = 1 – 2i ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫خواص‬ :‫االتية‬ ‫بالخواص‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫على‬ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫تتمتع‬ℂ∈3, c2, c1c∀ 1)( ‫االبدالية‬ ‫الخاصية‬Commutativity):1+ c2c=2c+1c 2)( ‫التجميعية‬ ‫الخاصية‬Associativity):3) + c2+ c1(c=)3+ c2(c+1c 3)( ‫الجمعي‬ ‫النظير‬Additive Inverse):-c ∈ ℂc = a + bi ∃,∀ c ∈ ℂ ‫حيث‬–c = -a-bi‫يسمى‬(-c)‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬c. 4)( ‫الجمعي‬ ‫المحايد‬ ‫العنصر‬AdditiveIdentity):‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫يرمز‬e‫ويعرف‬∈ ℂe = 0 = 0 + 0i ‫أن‬ ‫نستنتج‬ ‫سبق‬ ‫مما‬(ℂ , +)‫ابدالية‬ ‫زمرة‬ ‫هي‬Commutative Group ‫مثال‬4/:‫يأتي‬ ‫ما‬ ‫ناتج‬ ‫جد‬ a) (4-5i) - (3+2i) = (4-5i) + (-3-2i) = 1-7i b) (7-13i) - (9+4i) = (7-13i) + (-9-4i) = -2-17i ‫مثال‬5/‫المعادلة‬ ‫حل‬∈ ℂ,x(2-4i)+x = 5+i /‫الحل‬ (2-4i)+x = 5+i ⇒ x = (5+i) – (2-4i) = (5+i) +(-2+4i) ⇒ ∴ x = 3 + 5i ‫ا‬‫ا‬‫ثاني‬‫عملية‬ /‫الضرب‬:‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬‫بصفتهما‬ ‫بضربهما‬ ‫نقوم‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫ضرب‬ ‫عملية‬ ‫اليجاد‬ ‫من‬ ‫بدال‬ ‫ونعوض‬ ‫جبريين‬ ‫مقدارين‬2 i‫العدد‬1)-(:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫كان‬ ‫اذا‬i1b+1= a1c,i2b+2= a2c:‫فان‬ c1. c2 = (a1 +b1i) (a2 +b2i)= a1 .a2 + a1 .b2i + a2 .b1i + b1 .b2i2 = a1 .a2 + a1 .b2i + a2 .b1i - b1 .b2 = (a1 .a2 - b1 .b2) + (a1 .b2 + a2 .b1)i /‫مثال‬ (2+5i).(3-4i) = 6 – 8i + 15i – 20 i2 i2 = -1 = 6 + 20 + 7i = 26 + 7i ‫العدد‬ ‫ان‬ ‫نالحظ‬∈ ℂ26 + 7i‫عملية‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫مغلقة‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫ان‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬‫الضرب‬‫ان‬ ‫(اي‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬)ً‫ا‬‫ايض‬ ً‫ا‬‫مركب‬ ً‫ا‬‫عدد‬ ‫الناتج‬ ‫يكون‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ /‫مالحظة‬‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬ ‫مع‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬ ‫يساوي‬ ‫اخر‬ ‫من‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫اي‬ ‫طرح‬ ‫ان‬ .‫الثاني‬ /‫مالحظة‬‫كان‬ ‫اذا‬k ∈ R,c = a + bi:‫فان‬kc = ka + kbi : ‫تعريف‬- ‫ليكن‬i1+b1= a1c,i2+b2= a2c‫حيث‬ℂ∈2,c1c‫فان‬: c1.c2 =(a1.a2 - b1.b2)+(a1.b2 + a2.b1)i :‫أن‬ ‫تعلم‬ ‫وكما‬R∈)2b.1b-2a.1a(,R∈)1b.2a+2b.1a(‫مجموعة‬ ‫الن‬R‫عملية‬ ‫تحت‬ ‫مغلق‬ ‫فان‬ ‫لذلك‬ ‫الضرب‬ℂ∈2c.1c‫مجموعة‬ ‫ان‬ ‫أي‬.‫الضرب‬ ‫عملية‬ ‫تحت‬ ‫مغلقة‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬
   
6. 6. [ 1 – 1 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫توسيع‬ ‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬0/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770 ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫الضرب‬ ‫عملية‬ ‫خواص‬ :‫االتية‬ ‫بالخواص‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫على‬ ‫الضرب‬ ‫عملية‬ ‫تتمتع‬ℂ∈3, c2, c1c∀ 1)( ‫االبدالية‬ ‫الخاصية‬Commutativity):1cX2c=2cX1c 2)‫الخاصية‬( ‫التجميعية‬Associativity):3c)2c.1c)=)3c.2(c.1c 3)( ‫الضربي‬ ‫المحايد‬ ‫العنصر‬ ‫يتوفر‬Multiplicative Identity‫)وهو‬1=(1+0i) 4)‫الضربي‬ ‫النظير‬(Multiplicative Inverse:)∀ c ≠(0+0i) , ∃ 1 c ∈ ℂ‫بحيث‬ 1 c = (1+0i)c x ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫لكل‬ ‫ان‬ ‫اي‬c‫عد‬‫ا‬‫ضربي‬ ‫نظير‬ ‫له‬ ‫يوجد‬ ‫الصفر‬ 1 c .‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫الى‬ ‫ينتمي‬ :‫ان‬ ‫اي‬(ℂ - (0+0i), X)‫ابدالية‬ ‫زمرة‬ :‫ان‬ ‫اي‬(ℂ,+,X)‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫حقل‬ ‫يسمى‬ ‫حقل‬ ‫مثال‬6/:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫ناتج‬ ‫جد‬ 1) (3+4i)2 2) i(1+i) 3) − 5 2 (4+3i) 4) (1+i)2 + (1-i)2 5) (1+i)3 + (1-i)3 /‫الحل‬ 1) (3+4i)2 = 9 + 24i – 16 = -7 + 24i .‫التخيلي‬ ‫مع‬ ‫والتخيلي‬ ‫الحقيقي‬ ‫مع‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬ ‫نجمع‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫الحدانية‬ ‫مربع‬ ‫مالحظة/نستخدم‬ 2) i(1+i) = i + i2 = -1 + i ‫توزيع‬ ‫مالحظة/يتم‬i‫القوس‬ ‫حدود‬ ‫على‬(1+i). 3) − 5 2 (4+3i) = -10 - 15 2 i 4) (1+i)2 + (1-i)2 = (1+2i-1) +(1–2i-1) = 2i – 2i = 0 ‫مالحظة/نفتح‬‫االقواس‬.)‫الحدانية‬ ‫(مربع‬ 5) (1+i)3 + (1-i)3 = (1+i)2 (1+i) + (1-i)2 (1-i)=2i(1+i) + (-2i)(1-i)= 2i - 2 - 2i – 2 = -4 ‫االعتماد‬ ‫مالحظة/يكون‬.‫الحدانية‬ ‫مربع‬ ‫على‬ /‫مالحظة‬‫ليكن‬k ∈ R,c ∈ ℂ‫حيث‬c=a+bi:‫فان‬ 1) k. c = k)a + bi( = ka + kbi 2) ki. c = ki(a + bi) = -kb + kai
   
[*:d1f9]7. [ 1 – 3 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬7/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770 ]3-[1:‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ :‫ا‬‫ال‬‫فمث‬3+i‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫هو‬3-i‫مرافق‬ ‫وكذلك‬ , ‫وبالعكس‬(i)‫هو‬(-i)‫وبالعكس‬,‫وان‬5-4i‫مرافق‬5+4i ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫وكذلك‬ , ‫وبالعكس‬0‫هو‬0.‫وبالعكس‬ ‫مالحظة‬1:‫االتية‬ ‫الخواص‬ ‫يحقق‬ ‫انه‬ ‫المرافق‬ ‫تعريف‬ ‫من‬ ‫يتضح‬ / 1)