الرياضيات التقليدية والمعاصرة



القضايا الرياضية يقينية بنسبة ابتعادها عن الواقع وغير يقينية بنسبة اقترابها منه. هذا ما أوضحته لنا منظومة الأوليات فالتقدم الذي حققته هذه المنظومة مرده إلى أنها منطقية شكلية أي مستقلة عن الواقع الحدسي: لنضرب مثلا على ذلك من نقطتين في المكان نستطيع دوما أن نرسم خطا مستقيما واحدا لا أكثر. فكيف تفسر الرياضيات القديمة هذه المصادرة أو البديهية ؟ و كيف تفسرها الرياضيات الحديثة ؟



التفسير القديم: كلنا يعرف ما الخط المستقيم ؟ و ما النقطة ؟ هذه المعرفة أهي نتيجة للفكر أم نتيجة للواقع أم للاثنين معا إن الرياضي ليس مجبرا على الإجابة عن هذا السؤال بل يتركه للفيلسوف لكن الرياضي القديم يعد هذه المصادرة واضحة بذاتها قبل كل تجربة.



التفسير الحديث:فلا يعنيه وضوح المصادرة و إنما صفتها الشكلية أي انفصالها عن حدث واقعي لأنها في نظره إنشاء حر يقوم به الفكر الإنساني. فالمصادرة في نظره هي التي تحدد الموضوع لا العكس كما في الرياضيات القديمة و لهذا ترى الرياضيات الحديثة في المصادرات أو ( البديهيات ) تعريفات ضمنية.



ولهذا فالرياضيات الحديثة تتحلل من كل محتوى فهي شكلية خالصة فكلمة نقطة أو خط أو أمثالها يشير في الرياضيات الحديثة إلي مفهومات خالية من كل محتوى.



أنشتاين: الهندسة و التجربة



***



الاستدلال الرياضي



إذا كان لنا أن نتكلم عن " معجزة إغريقية " في تطور الفكر الإنساني, فلعله يجدر بنا أن نلمس ذلك في البروز المفاجئ لنمط من التفكير لم يوجد عمليا حتى مجيء الإغريق, وهو النمط الذي رفعه الإغريق دفعة واحدة إلى درجة من الكمال لم يضاهيهم فيها أحد طوال عشرين قرن, إنه الاستدلال الاستنتاجي بمعنى تسلسل من القضايا مرتبة ترتيبا يجد القارئ أو السامع نفسه معه مجبرا على أن يقر بصحة كل قضية من تلك القضايا مادام أنه سلم بصحة القضايا التي سبقتها في الاستدلال.



إن الشرط الجوهري لتطبيق الاستدلال الاستنتاجي هو صحة المقدمات, فعندما تكونت الرياضيات بصفتها علما مستقلا وعندما شرع الإغريق في تقنين قضايا هذا العلم انتهى بهم الأمر إلى قضايا أولية أي إلى قضايا لا بد من التسليم بصحتها دون برهان. بعض هذه القضايا تسمى عند أقليدس أوليات وبعضها الآخر مصادرات... وهي على ما يبدو تعتبر قضايا بديهية بحكم أنها متضمنة ضرورة في التمثل الذهني الذي يمكن أن يكون لنا عن هذه المفاهيم أما المصادرات فتتعلق بالكائنات الرياضية بالمعنى الدقيق.



وشهد هذا الموقف تطورا في تحول التحليل في النصف الثاني من القرن التاسع عشر ومن هنا جاءت الضرورة المطلقة التي غدت تفرض نفسها على كل رياضي وهي ضرورة أن يعرض استدلالاته في شكل أكسيومي أو في شكل تتسلسل فيه القضايا بمقتضى قواعد المنطق وحدها وذلك بغض النظر إراديا عن كل البداهات الحسية التي يمكن أن توحي بها للفكر الحدود التي تتضمنها هذه الاستدلالات.



ديودني: تيارات الفكر الرياضي الكبرى



***



إنّما الأوليات مواضعات

لا يرى أغلب الرياضيين في هندسة لوباتشفسكي سوى مجرد أمر طريف من وجهة نظر المنطق ، بل إن بعضهم ذهب إلى أبعد من ذلك : فإذا كانت عديد الهندسات ممكنة ، أواثقون نحن من أن هندستنا هي الصحيحة ؟ لقد علمتنا التجربة - دونما شك - أن مجموع زوايا المثلث يساوي زاويتين قائمتين ، ولكن مرد ذلك إلى أننا لا ندرس إلا مثلثات على غاية من الصغر، والفرق... حسب لوباتشفسكي - يكون متناسبا ومساحة المثلث : ألا يمكن أن يصبح ذلك الفرق محسوسا لو كنا نتعامل مع مثلثات أكبر أو لو كانت مقاساتنا أكثر دقة ؟ إن الهندسة الإقليدية - بذلك - تغدو هندسة وقتية.



ولكي نناقش هذا الرّأي ينبغي علينا أن نسأل أولا عن طبيعة الأوليات الهندسية أهي أحكام تأليفية قبلية ، كما يقول كانط ؟



إذا كان الأمر كذلك ، ألزمتنا تلك الأوليات بقوة لا نقدر معها على أن نتصور قضية مناقضة ولا أن نقيم عليها بناء نظريا. ولم تكن ثمة عندئذ هندسة لا إقليدية (...)



أينبغي - إذن - أن نستخلص أن أوليات الهندسة حقائق تجريبية ؟ ولكن لا يمكن إجراء تجارب على خطوط مستقيمة أو على محيطات دوائر مثالية، فالتجارب لا تكون إلاّ على أشياء مادية، فعلام تكون التجارب التي قد تتأسّس عليها الهندسة ؟ إن الجواب سهل :



لقد رأينا آنفا أنه علينا أن نبني الاستدلال دوما كما لو كانت الأشكال الهندسية تتصرف تصرف الأجسام ، و ما قد تستعيره الهندسة من التجربة، إنما هو خصائص تلك الأجسام (. . .).



غير أن صعوبة تظل قائمة ، وهي صعوبة يعسر تذليلها : إذا كانت الهندسة علما تجريبيا، بطل كونها علما صحيحا، وكانت بذلك موضع مراجعة متواصلة، بل وأكثر من هذا، إنها ستكون - منذ الآن - على ثقة من خطئها إذ أننا نعلم أنه لا يوجد جسم غير متغير البتة.



فالأوليات الهندسية ليست - إذن - لا أحكاما تأليفية قبلية ولا وقائع تجريبية .



هي مواضعات ، وتقود اختيارنا لها من بين كل المواضعات الممكنة وقائع تجريبية، ولكنه اختيار يظل حرا لا تحده إلا ضرورة تجنب كل تناقض . وعلى ذاك يمكن للمصادرات أن تظل صحيحة قطعا وإن لم تكن القوانين التجريبية التي حددت تبني تلك الصادرات إلا تقريبية.



وبعبارة أخرى نقول : إن أوليات الهندسة ليست إلا تعريفات مقنّعة.



وعندئذ، ما قولنا في السؤال التالي : هل إن الهندسة الإقليدية صحيحة ؟ إنه سؤال لا معنى له البتة.



وهو سؤال بمرتبة سؤالنا إن كان النظام المتري صحيحا والمقاييس القديمة خاطئة، وإن كانت الإحداثيات الديكارتية صحيحة و الإحداثيات القطبية خاطئة. فلا يمكن أن تكون هندسة أصح من أخرى، إنّما تكون أكثر ملاءمة لا غير.



بيد أن الهندسة الإقليدية هي الأكثر ملاءمة وستظل كذلك .



أولا : لأنها هي الأبسط ، وليست هي كذلك تبعا لعاداتنا الفكرية فحسب ، أو تبعا لما قد يكون لنا من حدس مباشر بالفضاء الإقليدي ، بل هي الأبسط في ذاتها كما أن عبارة جبرية كثيرة الحدود من الدرجة الأولى أبسط من عبارة جبرية كثيرة الحدود من الدرجة الثانية. ثم إن صيغ حساب المثلثات الكروي أشد تعقيدا من حساب المثلثات المستوي ، وهي لتبدو كذلك حتى لمن رام تحليلها وهو يجهل دلالتها الهندسية.



ثانيا : لأنها على درجة كبيرة من التوافق مع خصائص الأجسام الطبيعية، تلك الأجسام القريبة من أعضائنا ومن أعيننا والتي نصنع منها آلات قيسنا.



بوانكاري" العلم و الفرضيّة