تفكیك دالة باستعمال الدوال المرجعیة
دراسة اتجاه تغیر دالة باستعمال الدوال
المرجعیة
تمثیل بعض الدوال بیانیا باستعمال الدوال
المرجعیة
إنما تعالج g و f اتجاھي تغیر الدالتین
أمثلة مختلفة.
دراسة الدوال المرفقة تمكن المتعلم v
من التعرف على بعض المنحنیات الشھیرة
مثل القطع المكافئ والقطع الزائد مما
یسھل دراسة الدوال من الدرجة الثانیة
والتعرف على خواصھا.
تأخذ الدوال عبارات جبریة مختلفة v
وعلى المتعلم اختیار العبارة المناسبة
والملائمة لنوع المشكلة المطروحة .
1
2
الأنشطة
: النشاط 1
الھدف : استعمال التمثیل البیاني لدالة لحل معادلات
ومتراجحات وتعیین قیم شھیرة .
. f (3) = 0 ؛ f (0) = 3 ؛ f (-2) =1(1
{ } (2 1 . S3 = {0}؛ S2 = {-3;1;3}؛ S = -4;2
{ } (3 1 2 ؛ S = -1;1;2
3
2
S = ìí- üý
î þ
.
[ [ ] [ (4 1 . S2 = [-1;1]È[2;3] ؛ S = -4;- 3 È 1;3
x -4 0 2 3 (5
3 0
-1 -1
f (x)
x = - وذلك من أجل 4 (-1) 6) القیمة الحدیة الصغري ھي
. x = بینما القیمة الحدیة الكبرى ھي 3 من أجل 0 x = و 2
: النشاط 2
الھدف : استعمال دالة مرجعیة لدراسة تغیر طول قطعة
مستقیمة متغیرة .
(1 ( ) cos x
f x
. cosa = f (x) و a =
. f (x) = x (2
. xÎ]0;1] (3
: النشاط 3
الھدف : استعمال تقاطع منحني
دالتین مرجعیتین لحل معادلة من
الدرجة الثانیة.
1) الرسم :
. S = {-4;1} (2
. h(1) = 0 ؛ h(-4) = 0 (3
: النشاط 4
الھدف : إدراج مفھمي
العملیات الجبریة على
الدوال والدوال المرجعیة .
1) الرسم
2) نقطة التقاطع ھي
2 ; 4
3 3
Aæ ö
ç ÷
è ø
{2} (3 h . D = ¡ -
: النشاط 5
الھدف : مفھوم مركب دالتین.
y = KL ؛ f (t ) = 20t عوضا f (t ) = 25t : تصحیح
. y = ML عوضا
( ) 1 1 2500 2
2
( ) عوضا 1 1 2500 2 h t = + t
2
f t = + t
. KL = 0, 25 + x2 (1
الأعمال الموجھة
تغییر المعلم :
الھدف : تغییر المعلم لإثبات أن منحني دالة یقبل :
- مركز تناظر – محور تناظر .
OM = OW+WM (1
uuuur uuur uuuur
(2
2
1
x X
y Y
= - ìí
î = -
y = f (x) = x2 + 4x+ 3 ؛
( )2 ( ) بعد الحساب نجد : Y-1 = X - 2 + 4 X - 2 + 3
دالة زوجیة . . xa x2 . Y = X2
. x = - معادلة محور التناظر ھي 2
(3
1
1
x X
y Y
= - ìí
î = +
Y بعد التعویض والحساب نجد 1
X
. =
x 1
x
. (-1;1) دالة فردیة .إحداثیتي مركز التناظر ھي a
4) المراحل :
(O;i ; j) بالنسبة لمحور التناظر : - تغییر المعلم من
r r
إلى
(W;i; j)
r r
(Cf ) كتابة معادلة -. a ھي W حیث فاصلة
(W;i; j) في
r r
- إثبات الدالة المحصل علیھا زوجیة .
(O;i ; j) بالنسبة لمركز التناظر : - تغییر المعلم من
r r
إلى
(W;i; j)
r r
(W;i; j) في (Cf ) .- كتابة معادلة
r r
- إثبات
الدالة المحصل علیھا فردیة .
xa f (x+ b) + k : التمثیل البیاني للدالة
الھدف : التمثیل البیاني لصورة منحني دالة بواسطة انسحاب
MM'(1;1) ومنھ M '(x +1; x2 +1) ، M(x; x2 ) (1
uuuuur
MM'(-b;k) وبالتالي g (x-b) = f (x) + k ( 2) أ
uuuuur
-bi + k j بالانسحاب الذي شعاعھ M صورة M '
r r
بالانسحاب السابق (Cf ) صورة (Cg ) ( ب
( ) (3 g -bi بالانسحاب الذي شعاعھ (Cf ) صورة C
r
.
( ) (4 g -i بالانسحاب الذي شعاعھ (Cf ) صورة C
r
.
( ) h 2 j بالانسحاب الذي شعاعھ (Cg ) صورة C
r
،
-i + 2 j بالانسحاب الذي شعاعھ (Cf ) صورة (Ch ) أو
r r
-
تمارین
1) خاطئ . 2) صحیح . 3) صحیح .
( [0;4] تقبل حلین في f (x) = 4) صحیح (المعادلة 0
5) خاطئ .
1) خاطئ . 2) صحیح . 3) صحیح . 4) صحیح
. [ ; 0 +¥[ معرفة على u 1) صحیح لأن
نفس اتجاه التغیر . g و f 2) صحیح لأن للدالتین
. u (10)Ï[0;9] 3)خاطئ لأن مثلا
4) خاطئ . 5) خاطئ . 6) صحیح .
( f .g)(x) = x(x2 - 2x) (3
. (g o h)(x) = 2x2 + 5 (1
على (Cg ) یقع فوق (Cf ) لأن f ³ g (1
. [-1;2]
. ]- ; 1 +¥[ متزایدة على f (2
(1) 3 (1
2
؛ f (-2) =15 ؛ f (0) = 3 ؛ f = -
( ) 935 3
2
. f = -
. 2) سابقتا العدد 3 ھما 0 و 10
( ) نقوم حل المعادلة 17
2
. و 11 - ذات الحلین 1 f x =
؛ f (0) =1 ؛ f (-1) = 1) بقراءة بیانیا نجد 3
. f (1) = -1
(Cf ) ھي فواصل نقط تقاطع (-1) 2) سوابق العدد
. و 1 - ونقرأ 2 y = - ذي المعادلة 1 (D) مع المستقیم
ھي فواصل نقط تقاطع f (x) = 3) حلول المعادلة 3
( ) f والتي تنتمي y = ذي المعادلة 3 (D ') مع المستقیم C
. [-2;2] إلى المجال
f . D = ¡
f . D = ¡
f . D = ¡
] ;0[ ]0; [ f . D = -¥ È +¥
{4} f . D = ¡ -
] ; 2[ ] 2;2[ ]2; [ f . D = -¥ - È - È +¥
f . D = ¡
{3} f . D = ¡-
x = أو 3 x = - یعني 3 x = 3
. Df = ]-¥;-3[È]-3;3[È] ; 3 +¥[ ومنھ :
[1; [ f . D = +¥
[2;3[ ]3; [ f . D = È +¥
f . D = ¡
f . f ¹ g : ومنھ Dg = [-2;+¥[ ، D = ¡
. f = g
f . f ¹ g : ومنھ Dg = ¡ ، D = ¡*
ومن أجل Df = Dg = [0;1[È] ; 1 +¥[ لدینا
. f = g ومنھ f (x) = g (x) ؛ Df من x كل
. f = g
. f = g
معرفة على f .g و f + g ، g ، f 1) الدوال
. ¡
. ( f + g)(x) = f (x) + g (x) = 2x2 + 2x- 2 (2
( f .g)(x) = x4 + 2x3 - 2x2 + 2x-3
] ; 1[ ] 1; [ (1 f g . D = D = -¥ - È - +¥
(2 3f f . D-2g = Dg ؛ D = D
( f + g)(x) = f (x) + g (x) (1
. ( f + g)(x) = 2(x2 + 2x+1) = 2(x+1)2
. (2 f + g )(x) = (2x+1) 2) لدینا 2
. h : xa 2x+ حیث 1 (2 f + g ) = h إذن 2
تصحیح الشرط " في حالة وجودھا " یحذف من
. السؤال 1 ویضاف إلى السؤال 2
. ( f + g)(x) = f (x) + g (x) (1
( )(1) 3
2
( )(2) 29 ، f + g =
4
، f + g =
( )( 5) 47 5 2
10
. f + g = -
. ومنھ : (3 f )(x) = 3´ f (x)
، (3 f )(2) = 24 ، (3 f )(1) = 9
. (3 f )( 5) =15 5 - 6
( 2g )(x) 2 g (x) 3
x
ومنھ : - = - ´ =
( 2 )(2) 3 ، (-2g )(1) = 3
2
، - g =
( 2 )( 5) 3 5
5
- g =
f ، f .g 2) الدوال
g
1 ،
2
معرفة على ، f - g
ومنھ العددین 1 ]0;+¥[
2
لا تقبل صور . -1 ، -

( . )(3) 13
2
f (3) 26 ، f g = -
g
æ ö
ç ÷ = -
è ø
،
1 (3) 7
2
æç f - g ö÷ =
è ø
.
ولدینا : ¡ معرفتان على g o f و f o g الدالتان
. ( f o g)(x) = f (g (x)) = -6x
. (g o f )(x) = g ( f (x)) = -6x
ولدینا : ¡ معرفتان على g o f و f o g الدالتان
. ( f o g)(x) = f (g (x)) = 3x -1
. (g o f )(x) = g ( f (x)) = 3x - 7
ولدینا : ¡ معرفتان على g o f و f o g الدالتان
. ( f o g)(x) = 9x2 -12x+ 4
. (g o f )(x) = 2 - 3x2
معرفة على 1 f o g الدالة
2
- ì- ü í ý
î þ
ولدینا : ¡
( )( ) 1
2 1
f g x
x
-
=
+ . o
ولدینا : ¡ -{-1} معرفة على g o f الدالة
( )( ) 2
1
g f x
x
-
=
+ . o
ومنھ ]-¥ ;- 2]È[ ; 0 + ¥[ معرفة على f الدالة
و ( 1 3 2 x ¹ معرفة إذا كان 0 f o g الدالة
x
- £ -
أو 1 3 0
x
] ;0[ 0; 1 [ ; 1 [ ) أي - ³
3
xÎ -¥ È úù úù È + ¥ û û
( )( ) ولدینا : 2
1 4 3 f g x
x x
o = - +
معرفة إذا كانت g o f ومنھ الدالة ¡* معرفة على g الدالة
xÎ]-¥;- 2[È] ; 0 + ¥[ أي f (x) ¹ معرفة و 0 f
( )( ) ولدینا :
2
1 3
2
g f x
x x
= -
+
. o
x و لدینا من أجل كل ¡ معرفة على k 1) الدالة
(h o g)(x) = x2 +1 = k(x) : ¡ من
و لدینا ¡ معرفتان على (g o h) و ( f + k) 2) الدالتان
( f + k)(x) = x2 + 2x + : 1 ¡ من x من أجل كل
(g o h)(x) = (x +1)2 = x2 + 2x +1
f + k = g o h : و منھ
. ( 5) و 6 ، (4 ، ( بنفس الطریقة نثبت صحة 3
v(x) = x - و 1 u(x) = x حیث 2 f = u o v
v(x) = x + و 2 u(x) = x2 + حیث 1 f = u o v
u(x) حیث 3 f = u o v
x
.v(x) = x + و 1 =
.v(x) = x + و 1 u(x) = x حیث f = u o v
.v(x) = x - و 1 u(x) = cos x حیث f = u o v
( ) و 2 1 u(x) = x حیث f = u o v
5
. v x = x -
( f + g)(x) = x2 + x : I من x لدینا من أجل كل
x1 < x حیث 2 I عددان من x و 2 x لیكن 1
إذن 2 2
1 2 و بالتالي 2 2 x < x
1 1 2 2 x + x < x + x
( f + g)(x1) < ( f + g)(x أي ( 2
. I متزایدة تماما على ( f + g) إذن
x1 < x حیث 2 ]-¥ 0; ] عددان من x و 2 x لیكن 1
إذن 2 2
1 2 x1 > x و 2 x > x
و بالتالي 2 2
1 1 2 2 x + x > x + x
. ]-¥;0] متناقصة تماما على f إذن
[ ; 0 +¥[ متزایدة تماما على xa x الدالة
x و الدالة 1
x
[ ; 0 +¥[ متزایدة تماما على a -
x x و بالتالي الدالة 1
x
.[ ; 0 +¥[ متزایدة تماما على a -
: ]-¥;3] من x حیث من أجل كل f = u o v (1
. u(x) = x :¡+ من x و من أجل كل v(x) = 3 - x
نفس اتجاه التغیر فإن الدالة v و u 2) بما أن لیس للدالتین
. ]-¥;3] متناقصة تماما على u o v
. ]-¥;3[ و منھ ھي كذلك متناقصة تماما على
ب : ¡ معرفتان على g و f
g(x) = (x - 2)2 - و 1 f (x) = (x - 2)2
(1 h D = ¡*
المنحني الثاني ممثل ؛ g 2) المنحني الأول ممثل للدالة
. h یبقى المنحني الثالث ممثل للدالة ؛ f للدالة
، ]-¥;0[ لھما تفس اتجاه التغیر على g و f 3) الدالتان
. ]-¥;0[ متزایدة تماما على h إذن الدالة
، ] ; 0 +¥[ تفس اتجاه التغیر على g و f لیس للدالتین ·
. ] ; 0 +¥[ متناقصة تماما على h إذن
(C) نظیر g – منحني الدالة
بالنسبة لمحور الفواصل
(C) ینطبق على h - منحني الدالة
و یكون ]-¥ 0; ]U[ ; 2 +¥[ في
بالنسبة لمحور الفواصل (C) نظیر
.[0;2] في
ھو صورة k - منحني الدالة ·