E.P.S.T. d’Oran.
Algèbre 3 / Année universitaire 2011-2012.
Série d’exercices N± 03
Formes bilinéaires I
Exercice 1. Pour quelle raison peut-on parler de noyau et de rang d’une forme
bilinéaire, alors qu’elle n’est pas linéaire ?
Exercice 2. Les formes suivantes sont-elles bilinéaires ?
(1) f : R2 £ R2 ! R
((x; y); (x0; y0)) 7! xx0 + yy0
(2) g : R2 £ R2 ! R
((x; y); (x0; y0)) 7! x2x0 + yy0
Exercice 3. On désigne par f la forme définie dans l’exercice 2.
(1) Déterminer A la matrice de f dans la base canonique B de R2.
(2) Soit B0 = f(1; 0); (1; 1)g une famille de vecteurs de R2. Vérifier que B0 est
une base de R2 et donner la matrice A0 de f dans cette base par deux
méthodes (directe et changement de base).
Exercice 4. Une forme bilinéaire f est dite réductible sur un espace vectoriel E
lorsqu’il existe deux formes linéaires '1 et '2 telles que :
8(x; y) 2 E2; f(x; y) = '1(x)'2(y)
Montrer qu’une forme bilinéaire f est réductible si et seulement si rang(f) = 1.
Exercice 5. On désigne par f la forme définie dans l’exercice 2.
(1) Donner la forme quadratique associée à f.
(2) Retrouver f à partir de q.
Exercice 6. Soit f une forme bilinéaire définie sur R2, associée dans une base
fe1; e2g de R2 à la matrice
A =
µ
1 2
2 3
¶
(1) On pose e0
1 = e1 + e2 et e0
2 = ¡e1 + e2. Déterminer la matrice de f dans
la base fe0
1; e0
2g.
(2) Donner la forme quadratique q associée à f.
Exercice 7. Soient deux formes quadratiques
q1 : R2 ! R
(x; y) 7! x2 + y2 + xy
q2 : R2 ! R
(x; y) 7! xy
(1) Réduire ces formes quadratiques.
(2) Déterminer leur signature et leur rang. Sont-elles définies, positives, négatives
?
Exercice 8. Déterminer le rang et la signature des formes quadratiques définies
sur R3 par :
(1) q1(x; y; z) = 13x2 + 10y2 + 5z2 ¡ 12yz ¡ 6zx ¡ 4xy.
(2) q2(x; y; z) = x2 + z2 + 4yz + 2zx + 2xy.
(3) q3(x; y; z) = (x ¡ y)2 + (y ¡ z)2 + (z ¡ x)2.
1

شكرا

بارك الله فيك

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{السلام عليكم ورحمة الله}

{لك كل الشكر والتقدير على مجهودك الرائع والمميز}