. المستقيم المقارب المائل:
تعريف: لتكن دالة معرفة على مجال من الشكل .
إذا وجد عددين حقيقيين و ودالة حيث على هذا المجال يمكن كتابة :
و
فإنا نقول أن المستقيم ذو المعادلة :
مستقيم مقارب مائل للمنحنى الممثل للدالة عند
ملاحظات:
1. بيانيا هذا يعني أن عندما ينتهي إلى ، البعد
ينتهي إلى 0 و
2. لمعرفة الوضعية النسبية لـ بالنسبة لـ
يجب معرفة إشارة الفرق :


مثـال:
نعتبر الدالة المعرفة على بـ :
تمثيلها البياني في معلم متعامد .
و لدينا

إذن المستقيم الذي معادلته مستقيم مقارب مائل للمنحني .
) الوضع النسبي لمنحن ومستقيم مقارب: 7
ليكن المنحني البياني الممثل لدالة في معلم متعامد .
مستقيم مقارب للمنحني معادلته من الشكل .
لدراسة وضعية بالنسبة إلى ،نقوم بدراسة إشارة .
. يقع تحت المستقيم المقارب فإن إذا كان
. يقع فوق المستقيم المقارب فإن إذا كان
تمرين تطبيقي:
نعتبر الدالة المعرفة على R بـ :
تمثيلها البياني في معلم متعامد .
1) بين أن المستقيم الذي معادلته مستقيم مقارب مائل للمنحني . 2)أدرس وضعية المنحني بالنسبة إلى المستقيم .

الـحـل:
1) من أجل كل عدد حقيقي ، لدينا:




إذن





إذن

إذن المستقيم الذي معادلته مستقيم مقارب مائل للمنحني .
2) من أجل كل عدد حقيقي ، لدينا:
أي فإن إذا كان
. على المجال يقع تحت المستقيم المقارب إذن المنحني
أي فإن إذا كان
. على المجال يقع فـوق المستقيم المقارب إذن المنحني

نعتبر الدالة المعرفة على المجال بـ:
. فإن حيث إذا كان 1) أوجد عددا حقيقيا
. الممثل للدالة مستقيم مقارب للمنحنى ذو المعادلة 2) بين أن المستقيم
3) أدرس وضعية المنحني بالنسبة إلى المستقيم .
الـحـل:
يعني 1)
أي
ومنه لأن
أي
ومنه و
ومنه و
عندئذ و
و بالتالي
إذن

2)






وبالتالي

. الممثل للدالة مستقيم مقارب للمنحنى ذو المعادلة إذن المستقيم



3)

وبالتالي
من أجل كل من المجال ، أي
إذن المنحني يقع فوق المستقيم .
تمرين 02:
نعتبر الدالة المعرفة على المجال بـ:
. ينتمي إلى فإن حيث إذا كان 1) أوجد عددا حقيقيا
. الممثل للدالة مستقيم مقارب للمنحنى ذو المعادلة 2) بين أن المستقيم
3) أدرس وضعية المنحني بالنسبة إلى المستقيم .
الـحـل:
يعني 1)
أي
ومنه لأن
أي
ومنه و
ومنه و
عندئذ و
وبالتالي
إذن
2)





وبالتالي

. الممثل للدالة مستقيم مقارب للمنحنى ذو المعادلة إذن المستقيم
3)

وبالتالي
من أجل كل من المجال ، أي
إذن المنحني يقع تحت المستقيم .
تمرين 03:
أثبت باستعمال التعريف أن

الـحـل:
نضع
ليكن حيث ) مجال مفتوح يشمل العدد 0 (
من أجل من المجال ، يكون لدينا:
يعني و
أي و
ومنه و
ومنه و
ومنه و
إذن و
وبالتالي
نستنتج أنه من أجل كبير بالقدر الكافي ، المجال يشمل كل قيم .
ومنه أي

تمرين 04:
و عددان حقيقيان.
. فإن 1) برهن أنه إذا كان
2) أثبت باستعمال التعريف أن


الـحـل:
و أي و ومنه 1) لدينا
وبالتالي




إذن
بماأن و فإن
إذن
2) إثبات باستعمال التعريف أن

نضع
ليكن حيث ) مجال مفتوح يشمل العدد 3 (
من أجل من المجال ، يكون لدينا:
يعني و
أي و
ومنه و
ومنه و
ومنه و
إذن لأن
نستنتج أنه من أجل كبير بالقدر الكافي ، المجال يشمل كل قيم .
ومنه أي

تمرين 05:
نعتبر الدالة المعرفة على R بـ:
أثبت باستعمال التعريف أن


الـحـل:
ليكن عددا حقيقيا موجبا.
يعني
أي
إذن
نستنتج أنه من أجل كبير بالقدر الكافي ، المجال يشمل كل قيم .
إذن

تمرين 06:
لتكن الدالة المعرفة على المجال بـ :
أثبت باستعمال التعريف أن: .

الـحـل:
ليكن عددا حقيقيا موجبا.
من أجل من المجال ، يكون لدينا:
يعني
أي
إذن
نستنتج أنه من أجل كبير بالقدر الكافي ، المجال يشمل كل قيم .
إذن

تمرين 07:
نعتبر الدالة المعرفة على بـ :
تمثيلها البياني في معلم متعامد .
1) بين أن المستقيم الذي معادلته مستقيم مقارب مائل للمنحني . 2)أدرس وضعية المنحني بالنسبة إلى المستقيم .
الـحـل:
1) من أجل كل عدد حقيقي من ، لدينا:

إذن و

إذن المستقيم الذي معادلته مستقيم مقارب مائل للمنحني .
2) من أجل كل عدد حقيقي من ، لدينا:
أي فإن إذا كان
. على المجال يقع فـوق المستقيم المقارب إذن المنحني
أي فإن إذا كان
. على المجال يقع تحت المستقيم المقارب إذن المنحني
تمرين 08:
نعتبر الدالة المعرفة على R بـ :
تمثيلها البياني في معلم متعامد .
1) بين أن المستقيم الذي معادلته مستقيم مقارب مائل للمنحني . 2)أدرس وضعية المنحني بالنسبة إلى المستقيم .
الـحـل:
1) من أجل كل عدد حقيقي ، لدينا: أي
إذن و

إذن المستقيم الذي معادلته مستقيم مقارب مائل للمنحني .
2) من أجل كل عدد حقيقي ، لدينا:
أي فإن إذا كان
. على المجال يقع تحت المستقيم المقارب إذن المنحني
أي فإن إذا كان
. على المجال يقع فـوق المستقيم المقارب إذن المنحني
تمرين 09:
نعتبر الدالة المعرفة على المجال بـ :
تمثيلها البياني في معلم متعامد .
1) أحسب .

(2 أ) عين الأعداد الحقيقية ، و بحيث من أجل كل من المجال :
ب) استنتج أن المستقيم الذي معادلته مستقيم مقارب مائل للمنحني عند .
3) أحسب ثم فسر النتيجة هندسيا.


الـحـل:
1)



إذن

(2 أ) من أجل كل من المجال ، لدينا:

إذن
ولدينا من جهة أخرى:
بالمطابقة بين و نجد:
أي إذن
عندئذ:
ب) من أجل كل من المجال ، لدينا:
إذن

إذن المستقيم الذي معادلته مستقيم مقارب مائل للمنحني عند .
3) إذن

. يقبل مستقـيم مقارب معادلته إذن المنحني
تمرين 10:
نعتبر الدالة المعرفة على بـ :
تمثيلها البياني في معلم متعامد ومتجانس .
1) أحسب نهايات الدالة عند أطراف مجموعة تعريفها.
2) بين أن المستقيم الذي معادلته مستقيم مقارب مائل للمنحني عند وعند .
3) أدرس وضعية المنحني بالنسبة إلى المستقيم .
(4 عين أصغر عدد طبيعي حيث من أجل كل يحقـق ، يكون لدينا:

الـحـل:
1)





إذن









إذن

2) من أجل كل من ، لدينا:




إذن
بماأن و

إذن المستقيم الذي معادلته مستقيم مقارب مائل للمنحني عند وعند .
3) من أجل كل من ، لدينا:
. على يقع فـوق المستقيم المقارب إذن المنحني
(4 تعيين أصغر عدد طبيعي حيث من أجل كل يحقـق ، يكون لدينا:
يعني
أي لأن
ومنه
ومنه




– +
+

– – +
+ – +









. أو إذا كان نستنتج من الجدول أن
إذن أصغرعدد طبيعي حيث من أجل كل يحقـق ، يكون لدينا: هو .
تمرين 11:
لتكن الدالة المعرفة على R بـ :
نريد دراسة سلوك عندما يؤول إلى .
1) ضع تخمينا.
؟ إلى المجال بحيث ينتمي 2) في أي مجال يجب إختيار
. عدد حقيقي حيث 3)
أ) في أي مجال يجب إختيار بحيث ؟
ب) ماذا نستنتج علما أنه يمكن إختيار صغيرا بالقدر الذي نريد ؟
الـحـل:
1) يبدو أنه كلما اقترب من ، اقترب من .
2) يعني
أي
ومنه
وبالتالي
إذن
3 (أ) يعني
أي
ومنه
وبالتالي أي
ب) عندما نختار صغيرا بالقدر الذي نريد، يكون قريبا من بالقدر الكافي
وبالتالي يكون قريبا من بالقدر الذي نريد.
إذن

تمرين 12:
أحسب النهايات التالية:
(1 (4

(2 (5

(3 (6
الـحـل:
1)

إذن

2)

)3

إذن

)4

إذن

)5

إذن

)6

إذن

تمرين 13:
أحسب النهايات التالية:
(1 (3

(2 (4


الـحـل:
1)



إذن

2)

إذن

)3



إذن

)4



إذن

تمرين 14: أحسب النهايات التالية:
(1 (4

(2 (5

(3 (6


الـحـل:
و لدينا 1)

من أجل يكون لدينا
إذن

و لدينا 2)

من أجل يكون لدينا
إذن

و لدينا 3)

من أجل يكون لدينا

إذن

و لدينا 4)

من أجل يكون لدينا
إذن

(5

و لدينا

من أجل يكون لدينا ومنه إذن

(6

و لدينا

من أجل يكون لدينا ومنه إذن

تمرين 15: أحسب النهايات التالية:
(1 (3

(2 (4

الـحـل:
1)

2)

(3







إذن

(4






إذن

تمرين 16: أحسب النهايات التالية:
(1 (3

(2 (4

الـحـل:
و لدينا 1)

من أجل يختلف عن العدد ، يكون لدينا:

أي


إذن

و لدينا )2

من أجل يختلف عن العدد ، يكون لدينا:

أي


إذن

و لدينا 3)

من أجل يختلف عن العددين و ، يكون لدينا:

أي


إذن

و لدينا 4)

من أجل يختلف عن العددين و ، يكون لدينا:

أي


إذن

تمرين 17: أحسب النهايات التالية:
(1 (3
(2 (4

الـحـل:
و لدينا 1)

من أجل يختلف عن العددين و ، يكون لدينا:

أي

بارك الله فيك