قواسم عدد طبيعي:
نشاط 2 ص 8

(1)

1 × 20 = 20 ؛ 2 × 10 = 20 ؛ 4 × 5 = 20
* 1× 48 = 48 ؛ 2 × 24 = 48 ؛ 3 × 16 = 48
4 × 12 = 48 ؛ 6 × 8 = 48
* 1 × 11 =11
* 1 × 15 = 15 ؛ 3 × 5 = 15
* 1 × 12 = 12 ؛ 2 × 6 = 12 ؛ 3 × 4 = 12
(2)

قواسم العدد 20 هي : 20 ، 1 ، 10 ، 2 ، 5 ، 4
قواسم العدد48 هي : 48 ، 1 ، 24 ، 2 ، 16 ، 12 ، 3 ، 4 ، 8 ، 6
قواسم العدد 11 هي : 11 ، 1
قواسم العدد 15 هي : 15 ، 5 ، 3 ،1
قواسم العدد 12 هي : 12 ، 6 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1

القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين:

نشاط 4 ص 9 :

(1)
قواسم 48 هي 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 ، 12 ، 16 ، 24 ، 48
قواسم 18 هي 1 ، 2 ، 3 ، 6 ، 9 ، 18
مجموعة القواسم المشتركة للعددين 48 و 18 هي :
1 ، 2 ، 3 ، 6
ـ اكبر هذه القواسم هو العدد 6 يسمى القاسم المشترك الأكبر للعددين 48 و 18
ونكتب : 6 = ( 18 ، 48 ) pgcd
مثال :
نبحث عن القاسم المشترك الأكبر بين 30 و 45

(2)
* قواسم 30 هي 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 6 ، 10 ،15 ، 30
قواسم 45 هي 1 ، 3 ، 5 ، 9 ، 15 ، 45
مجموعة القواسم المشتركة للعددين 45 و 30 هي 1 ، 3 ، 5 ، 15
ومنه : pgcd(45 ,30 ) = 15

قاعدة :
القاسم المشترك لعددين طبيعيين هو عدد طبيعي يقسم كلا منهما

أكبر قاسم مشترك لعددين طبيعيين يسمى القاسم المشترك الأكبر

مثال:


* قواسم العدد 60 هي 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 10 ، 12 ، 15 ، 20 ، 30 ، 60
قواسم العدد 90 هي 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 6 ، 9 ، 10 ، 15 ، 18 ، 30 ، 45 ، 90
مجموعة القواسم المشتلركة للعددين 90 و 60 هي
1 ، 2 ، 3 ،5 ،6 ، 10 ، 15 ، 30
ومنه : pgcd( 90, 60) = 30

خاصية :

• قواسم 18 هي 1 ،2 ، 3 ، 6 ، 9 ، 18
  
• قواسم العدد 24 هي 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ،8 ، 12 ، 24
  

مجموعة القواسم المشتركة للعددين 18 و 24 هي
1 ، 2 ،3 ، 6
ومنه : pgcd(18, 24) = 6
مجموعة القواسم المشتركة للعددين هي نفسها مجموعة قواسم القاسم المشترك الأكبر لهما
و قواسم العدد 6 هي : 1 ، 2 ،3 ، 6خاصة: مجموعة القواسم المشتركة لعددين هي مجموعة قواسم القاسم المشترك الأكبر

خوارزمية إقليدس ( عملية الطرح المتتالية) :

مثال :
نبحث عن القاسم المشترك الأكبر للعددين 72 و 56
الطريقة هي
16=72-56
40=56-16
24=40-16
8=24-16
8=16-8
0=8-8
إذن القاسم المشترك الأكبر هو 8

* تطبيق بنفس الطريقة السابقة أوجد pgcd ( 209 , 133 ) (القاسم المشترك للعددين 209 ، 133)

اقتباس :

حل التطبيق
(القاسم المشترك للعددين 209 ، 133)

76 =209-133

57 =133-76
19= 76-57
38=57-19
19=38-19
0=19-19
القاسم المشترك الاكبر هو 19

الدرس : قواسم عدد طبيعي
هذا الدرس من أسهل دروس السنة الرابعة متوسط لذلك إذا اردت أن تربح نقاطك الكاملة في إمتحان الرياضيات في شهادة التعليم المتوسط فما عليك إلا مبابعة الدرس جديا و بتركيزك الكامل
إذن نبدأ مع أول درس في دورة دروس الرياضيات الخاصة بشبكة التعليم الجزائرية
- ماهو قاسم عدد طبيعي ؟
1- قاسم عدد طبيعي

تعريف :
تعريف قاسم عدد طبيعي : a,b عددان طبيعيان حيث b غير معدوم
إذا كان باقي القسمة الإقليدبة لـ a على b معدوما فنقول أن b يقسم a
ونكتب : a = k x b حيث k هو حاصل قسمة a على b
مثال : 3 يقسم 6 لأن 3×2 = 6
إنتبه b يقسم a يعني أن a مظاعف لـ b يعني أن a يقبل القسمة على b
بعد تعرفنا لقاسم عدد طبيعي إذن : ماهي خواص قواسم عدد طبيعي ؟؟ فالنتابع لنعرف ذلك2 – خواص قواسم عدد طبيعي

الخاصية 1 :إذا كان c يقسم كلا من a و b فإن c يقسم كلا من a+b و a-b
الخاصية 2 :إذا كان c يقسم من a فإن c يقسم الجداء a x n حيث n عدد طبيعي
الخاصية 3 :إذا كان c يقسم كلا من a و b فإنه يقسم باقي القسم الإقليدية لـ a على b
مثال :

• 4 يقسم 24 و 4 يقسم 8 و منه 4 يقسم 8 + 24 أي 4 يقسم 32 .
  

• 4 يقسم 24 و 4 يقسم 8 و منه 4 يقسم 8-24 أي 4 يقسم 16
  

مثال 2 :

• 6 يقسم 42 و منه 6 يقسم 3 * 42 أي 6 يقسم 126.
  

مثال 3 :

• 7 يقسم كلا من العددين 56 و 35 و منه 7 يقسم 21
  

هام جدا :

1. العدد الطبيعي 1 قاسم لكل عدد طبيعي
   
2. العدد الطبيعي 0 ليس قاسم لأي عدد طبيعي
   

تدريب :

1. أذكر 4 قواسم للعدد 56 و 5 قواسم للعدد 120.
   
2. من بين الأعداد : 20 ، 77 ، 65 ، 854 ، 2275 أذكر التي تقبل القسمة على 7 ثم التي تقبل القسمة على 5
   
3. تحقق من :
   
   
   
   1. أن العدد 11 يقسم 44 + 22 و 495 + 132 { إستعن بالخاصيات المذكورة أعلاه }
      
   2. أن العدد 13 يقسم 1599 – 4225 و 325 – 728 { إستعن بالخاصيات المذكورة أعلاه }
      
   
   
   
   

3- القاسم المشترك الأكبر لعددين :

تعريف :
القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين a و b هو أكبر قاسم مشترك لهما.
- نرمز للقاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين a و b بـ(PGCD (a,b
مثال :

1. قواسم العدد 12 هي : 1، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12
   
2. قواسم العدد 18 هي : 1، 2 ، 3 ، 6 ، 9 ، 18
   

• القواسم المشتركة لـ 12 و 18 هي 1 ، 2 ، 3 ، 6
  
• العدد 6 هو القاسم المشترك الأكبر للعددين 12 و 18
  
• إذن نكتب PGCD (12,18) = 6.
  

تدريب : أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين a , b في كل حالة مما يلي

1. a = 45 , b = 30
   
2. a = 32 , b = 36
   
3. a = 42 , b = 36
   

الخاصية 1 :القواسم المشتركة لعددين طبيعيين هي قواسم القاسم المشترك الأكبر لهما .
مثال :
قواسم العدد 20 هي : 1 ، 2 ، 4 ، 5 ، 10 ، 20
قواسم العدد 16 هي : 1 ، 2 ، 4 ، 8 ، 16
القواسم المشتركة للعددين 20 و 16 هي 1 ، 2 ، 4
و عليه 4 = (PGCD (20,16
نلاحظ أن قواسم العدد 4 هي 1 ، 2 ، 4
أمل أنكم قد إستوعبتم ما سبق إذا لم تستوعبوا أي شيئ عليكم بحل التدريبات المقدمة بعد كل نهاية شرح حتى تتمكنوا من المواصلة معنا
إذن سنواصل :
4- العددان الأوليات فيما بينهما :

تعريف :
العددان الأوليان فيما بينهما هما عددان طبيعيان قاسمهما المشترك الأكبر يساوي 1
مثال :
قواسم العدد 12 هي : 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12
قواسم العدد 25 هي : 1 ، 5 ، 25
ملاحظة :
نلاحظ أن PGCD (12;25)=1 و عليه العددان الطبيعيان 12 و 25 أوليان فيما بينهما
تدريب :أذكر إذا كان العددان a و b أوليان فيما بينهما في كل مما بلي :

1. a = 41 , b = 48
   
2. a = 122 , b = 136
   
3. a = 45 , b = 17
   

5- البحث عن PGCD باستعمال خوارزمية إقليدس

خوارزمية إقليدس : لحساب (PGCD (a,b نتبع الخطوات التالية :

1. نقسم a على b فنحصل على الباقي r
   
2. إذا كان r يساوي 0 فإن PGCD (a,b)=b
   
3. إذا كان r لا يساوي 0 نعوض a بـ : b و b بـ : r ثم نعيد الخطو الأولى.
   

المخطط الموالي يوضح الخطوات الثلاثة السابقة :


قواسم عدد طبيعي البحث عن PGCD

مثال 1 :

قواسم عدد طبيعي طريقة حساب pgcd

قواسم عدد طبيعي حساب pgcd


لنحسب (PGCD ( 1078,322
قواسم عدد طبيعي الرياضيات


لنحسب PGCD (385,78)
قواسم عدد طبيعي طريقة البحث عن pgcd


تدريب :
أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين a و b في كل حالة مما يلي :

1. a = 2006 , b = 991
   
2. a = 314 , b = 85
   
3. a = 3450 , b = 450
   

ننتقل الأن إلى شرح الكسور الغير القابلة للإختزال
تعريف :
الكسر a/b مع ( b لا تساوي 0 ) غير قابل للإختزال يعني أن a و b أوليان فيما بينهما
مثال 1 :
الكسر 21/10 غير قابل للإختزال لأن :1 = (21,10)PGCD
مثال 2 : لنختزل الكسر 60/45 :
لإختزال هذا الكسر ما علينا إلى أن نبحث عن (60,45)PGCD فنجد 15 = (60,45)PGCD
لدينا : 60/45 = 60/15/45/15=4/3
تدريب :
إختزل الكسور التالية :