الإشكالية الثالثة: فلسفة العلوم المستوى: نهائي كل الشعب
المشكلة الجزئية 1: في الرياضيات والمطلقية التاريخ:
الموضوع: مصدر المفاهيم الرياضية الحجم الساعي:
الكفاءة الختامية الأولى:
يتوصل المتعلم إلى ممارسة التأمل الفلسفي في القضايا الفكرية التي تتعلق بفلسفة العلوم وفلسفة التسامي إلى الوحدة
الكفاءة المحورية:
5. التمييز بوضوح بين مجالي العلم والفلسفة وتكاملهما
الكفاءة الخاصة:
أ) ضبط تام لمهمة كل من العالم و الفيلسوف.
ب) ضبط العلاقة التكاملية بين العلم والفلسفة.


المدة المضمون الأسئلة المحاور



تعتبر الرياضيات من العلوم الصورية ومجالها هو العقل لكن هذا لايعني بالضرورة انه هو مصدرها مما دفع الفلاسفة للتساؤل عن مصدرها البعيد وفق ما يلي :
ما أصل الرياضيات وما مصدر مفاهيمها؟ هل ترجع إلى منطلقاتنا العقلية أم إلى مدركاتنا الحسية؟ س /رأينا في المجال السابق أن الفكر يمكن أن يطابق نفسه و يطابق الواقع أين يتجلى ذلك وكيف ؟
ج/ يتجلى ذلك في النسق الرياضي من خلال الجمع بين المنهج التجريبي والمنهج الرياضي و التعبير عن النتائج بصيغ رمزية
س /إذا كانت الرياضيات تختلف عن العلوم الطبيعية فما طبيعتها ؟
ج/ هي ذات طبيعة عقلية صورية
س /إذا كانت ذات طبيعة عقلية هل يعني ذلك بالضرورة أن مصدرها العقل ؟
ج/ ليس بالضرورة فقد يكون مصدرها الواقع والتجربة
هذايقودنا إلى طرح سؤال ماهو؟ طرح المشكلة
أولا: مصدر المفاهيم الرياضية العقل النظرية العقلية)

يرى العقليين أن الإنسان يولد بعقل مزود بمبادئ وأفكار سابقة للتجربة يمكنه وفقها الوصول إلى المعرفة من خلال الاستدلال العقلي وبالتالي فان العلم الإنساني لا يأتي من خارج العقل وعليه فان الرياضيات كعلم هي جملة مفاهيم مجردة أنشاها العقل باستنباطها من مبادئه ومبرراتهم في ذلك :
- أننا نفرق بين العدد و معدوده فنرى مثلا ثلاثة أقلام ولا نرى العدد3 وبالتالي فان المعدود ما هو إلا مقاربة حسية للعدد ذا الطبيعة العقلية - ثم أن الرياضيات كمعرفة تتصف بالمطلقية و الضرورة و الكلية وهي صفات تنعدم في غيرها من العلوم ذات الطبيعة التجريبية وهذا يوحي بأنها تتصف بصفيات ما استنبطت منه إلا وهي مبادئ العقل
- ثم أن المفاهيم الرياضية تدل على انه لا اثر للواقع الحسي فيها مثل العدد السالب والجذر التخيلي وفي مقابل ذلك فان هذه المفاهيم لا نجدها في الواقع مثل الصفر \
يمثل هذا الطرح أفلاطون الذي يرى أن الكائنات الرياضية مجالها العقل تتميز بالوحدة والثبات والكلية فالمستقيم الذي نرسمه بحيث يماس الدائرة في نقطة ما لابد أن يماسها في نقطة لها سمك وهذا يتنافى مع تعريف النقطة بأنها ليس لها طول ولا عرض كما أن الدائرة واحدة في الذهن لكن يمكن رسمها كبيرة أو صغيرة ومنه فان ما هو حقيقي هو ما يوجد في العقل كما يعطينا أفلاطون مثالا آخر إذ نرى ثلاثة أقلام ولا نرى العدد3 فمن أين أتى العدد ثلاثة يجيب أفلاطون انه مفهوم عقلي استرجعته النفس بعد أن نسته عند مفارقتها لعالم المثل
وفي العصر الحديث نجد ديكارت الذي يرى أن الأعداد والأشكال من الأفكار الفطرية وما هو فطري يتسم بالضرورة واليقين و الكلية وعلى هذا الأساس نفسر اشتراك الناس في العمليات العقلية أثناء استنتاجاتهم .
ويذهب كانط إلى أن المكان والزمان باعتبارهما مفهومان هندسيان يشكلان أحد قوالب الذهن الموجودة فيه قبلا تنتظم فيهما المعرفة الحسية كالحركة والمسافة والسرعة
مناقشة : لا ننكر الطابع التجريدي للرياضيات لكن أن نجعل من العقل مصدرها فهذا يوقعنا في جملة من التناقضات فهذا يجعل المفاهيم الرياضية نشأت دفعة واحدة وهذا ما يكذبه تاريخ الرياضيات ثم لو كانت فطرية لوجدت عند الأطفال الصغار ولما احتجنا في تعليمهم إلى المحسوسات.
ثانيا مصدر المفاهيم الرياضية التجربة النظرية التجريبية):
أن أصل ومصدر المفاهيم الرياضية هو الواقع والتجربة وبالتالي فان كل معرفة عقلية ومن بينها الرياضيات هي صدى لادراكاتنا الحسية لهذا الواقع ولا توجد ما يعرف بالأفكار الفطرية لان النفس البشرية تولد وهي صفحة بيضاء وما يبرر ذلك :
إننا ننتقل في التعلم من المحسوس إلى المجرد وينطبق هذا على المفاهيم الرياضية فنستخدم الأشياء للدلالة على العدد والشكل وهذا ما نجده عند الأطفال الصغار و البدائيين إذ المفاهيم الرياضية لا تفارق مجال إدراكهم الحسي كالحصى و الخشيبات والقريصات و المثلثات والمربعات
ثم أن تاريخ الرياضيات يكشف ظهور الهندسة قبل الحساب لأنها ترتبط بالواقع فعند المصريين القدامى ونتيجة مشاكل تتعلق بحساب مساحات الأراضي ارتبطت بفيضانات النيل جرهم إلى أيجاد مفاهيم الأشكال والمساحات
يتبنى هذا الموقف أنصار النزعة التجريبية وعلى رأسهم جون لوك ودافيد هيوم و ج س ميل إذ اعتبروا الواقع الحسي هو مصدر المعرفة فقد ذهب جون لوك إلى أن العقل البشري يولد صفحة بيضاء وان التجربة تزوده بمعارف بما فيها المبادئ التي يقوم عليها وكذا المفاهيم الرياضية التي نشأت عن طريق الأفكار المركبة وهي ناتجة انطباعات حسية فمفهوم الدائرة يرجع إلى ما انطبع في العقل من الدوائر الموجودة في الواقع كدائرة القمر ويرى ميل " أن النقط و الخطوط و الدوائر التي يحملها كل واحد منا في ذهنه هي مجرد نسخ لتلك الموجودة في التجربة "
مناقشة : لا ننكر دور التجربة في صقل المعارف وتأكيدها لكن أن نجعل منها مصدرا لها فهذا يوقعنا في تعارض إذ كيف نفسر أن بعض المفاهيم الرياضية لا نجد لها مقابل في الواقع الحسي مثل الصفر والأعداد العشرية ألا يعني هذا أن العقل أبدعها إبداعا ثم أن المفاهيم الرياضية كما هو ملاحظ لم تتطور بل تطورت فقط الأنساق فالأعداد لم تتطور وكذا العلاقات بينها وهذا يوحي بان مصدرها العقل
ثالثا:الإغراق في التجريد من طبيعة الرياضيات:
أن كلا من الطرحين السابقين نظر إلى المعرفة ومن بينها الرياضيات على إنها مفاهيم جاهزة بفصلها بين العقل والتجربة لكن الحقيقة أن العقل والتجربة بينهما ترابط وتلازم في الوجود كما أن العلاقة بينهما علاقة تكامل وهذا يجعل المفاهيم الرياضية ما هي إلا تركيب وإنشاء نتيجة تضافر العقل مع التجربة وان فعل التجريد أوجدته عوامل حسية وأخرى عقلية يقول العالم السويسري فيرديناند غونزيث " في كل بناء تجريدي يوجد راسب حدسي وليست هناك معرفة تجريبية خالص ولا معرفة عقلية خالصة بل مل ما هنا ك أن احد الجانبين العقلي والتجريبي قد يطغى على الآخر دون أن يلغيه تماما " ويقول ج سارطون "لم يدرك العقل مفاهيم الرياضيات في الأصل إلا من جهة ما هي ملتبسة باللواحق المادية لكنه بعد ذلك انتزعها بعد ذلك من مادتها وأصبحت مفاهيم عقلية محضة "
1-2-3- كم مجرد منفصل مجاله الحساب الدائرة – المستقيم كم مجرد منفصل مجاله الهندسة
+ - \ * = علاقات قائمة بين الكميات * تحليل وضعية مشكلة: الكتاب المدرسي ص240
س/ ماذا نستنتج من هذه الوضعية ؟
ج/ التباس في الأصل الأول للرياضيات فهناك من يرجع أصلها للعقل وهناك من يرجعه إلى التجربة
س/ ما طبيعة البحث في أصل الرياضيات ولماذا ؟

لنأخذ الأمثلة التالية : العدد السالب والصفر اللانهائي هل نجد لها مقابل في الواقع الحسي ولماذا
ج /لا نجد لها مقابل في العالم الحسي لأنها مفاهيم عقلية
س /إذا كان الأمر كذلك انطلاقا من ماذا أنشاها العقل ؟
ج/أنشاها العقل واستنبطها من ما يتوفر عليه من مبادئ وأفكار فطرية
س/ إذا ماذا يعني هذا بالنسبة لأصل المفاهيم الرياضية ؟
ج /يعني أن أصلها عقلي
س/ما هي مسلمات هذا الطرح وما هي مبرراته ومن يتبناه ؟
















س/ ما القيمة المعرفية لهذا الطرح والى أي مدى نعتبره سليما ؟




عرض الوضعية المشكلةالموجودة في كتاب إشكاليات فلسفية آداب وفلسفة ص23 ما توصل إليه أنثروبولوجي عندما سأله عن المبادئ الفطرية (الزمان والمكان والعلية والغائية..)

س/ إلى ماذا نلجأ في تعليم الأطفال الرموز والأشكال ؟

ج/ نلجأ إلى المحسوسات

س/ هل هذه الرموز موجودة مسبقا لديهم ولماذا ؟

ج/ هذه الرموز مكتسبة وليست فطرية لان العقل يوجد وهو صفحة بيضاء


س/ إذا كان الأمر كذلك ما هو إذا مصدر المفاهيم الرياضية ؟

ج/ مصدرها هو الواقع والتجربة

س/ ما هي الحجج المبررة لذلك ومن يمثل هذا الموقف ؟






س/ ما القيمة المعرفية لهذا الطرح والى أي مدى نعتبره سليما ؟







س/ كيف نظر كلا من الطرحين السابقين إلى المعرفة عموما والرياضيات خصوصا ؟
ج / نظرا إليها على أنها معطيات جاهزة
س/ وبالتالي فصلا بين ماذا وماذا
ج / فصلا بين العقل والتجربة
س/ ألا يمكن تركيب الطرحين ونجاوزهما في أن واحد وكيف ؟
ج / يمكن التركيب من خلال الارتباط الموجود بين العقل والتجربة وتجاوزهما من خلال أن المعرفة تركيب وإنشاء ومن بينها الرياضيات فالمفاهيم الرياضية أصلها هو التجربة ولما ارتبطت بالعقل جردها ففعل التجريد أوجدته عوامل التجربة الحسية وعوامل ذهنية عقلية
محاولة حل المشكلة
نستنتج أن المعرفة جهد إنساني ومحاولة جادة لفهم مايحيط بنا من أشياء وإجابتنا على مايدور في عقولنا من جهد وبناء مستمر وهذا مايصدق على الرياضيات وكحل توفيقي لأصل المفاهيم الرياضية نقول الرياضيات بدأت حسية ثم أصبحت مجردة وهذا ما وضحه جورج سارتون بقوله:" الرياضيات المشخصة هي أول العلوم نشوءا فقد كانت في الماضي تجريدية ثم تجردت وأصبحت علما عقليا " ماذا نستتنج ؟
ما هو مصدر المفاهيم الرياضية؟ حل المشكلة

الموضوع: قيمة الرياضيات
المدة المضمون الأسئلة المحاور
-تعد الرياضيات النموذج الأمثل في الدقة واليقين ولكن على الرغم من مكانتها السامية بالنظر إلى منهجها ونتائجها فهل يمكن وصفها بالصناعة الصحيحة في كل الأحوال في منطلقاتها واستنتاجاتها؟
س/ بماذا يتحدد كل علم ؟ ج/ يتحدد بموضوعه ومنهجه س/ماذا يتطلب كل منهج ؟ ج/ يتطلب مبادئ ومنطلقات هذا يدفعنا للتساؤل حول طبيعة المنهج الرياضي و منطلقاته أي ما طبيعة المنهج الرياضي وما منطلقاته وما طبيعة النتائج المترتبة عنه؟
طرح المشكلة
أسس المنهج الرياضي:
إن لكل علم منهجه؛ لذا ، علينا أن نتساءل عن المنهجية التي يتبعها الرياضي في البرهنة على استنتاجاته ، وما يترتب عن ذلك من نتائج .
ـ أولا : الرياضيات الكلاسيكية.:
1- المنطلقات الاقليدية:
إن هذه المنهجية تقوم على الاستدلال الاستنتاجي؛ وهو استدلال يعتمد بالضرورة، على منطلقات أولية تعرف بالأوليات والمسلمات والتعريفات لإقامة البرهان على صدق أو كذب قضية مطروحة للحل.


فالبديهيات: قضايا في غاية الوضوح لا تحتاج إلى برهان ، قضايا تفرض نفسها على العقل كالقول مثلا ، بأن " الكل أكبر من أحد أجزائه " ، وبأن " الشيئين المساويين لثالث متساويان فيما بينهما "، هي كلها حقائق بديهية.




والمسلمات: وتدعى أيضا بالمصادرات، هي قضايا غير مبرهنة، يضعها العقل كمطلب ويسلم بصدقها قصد بناء البراهين . ومن أمثلتها، مصادرات " أوقليدس " القائلة بأنه " من نقطة خارج مستقيم ، لا يَمرُّ إلا مواز واحد " ، وبأن " المكان ذو أبعاد ثلاثة : الطول والعرض والارتفاع ".









التعريفات: تعريف المستقيم، أو المثلث هو " شكل هندسي يتألف من ثلاثة خطوط وثلاث زوايا "







2- الخطوات: أساليب البرهنة في المنهج
وإذا كانت هذه هي أسس ومبادئ البرهنة الرياضية، فكيف يتم الانتقال منها إلى النتائج التي تَلزم عنها ؟ وبصورة أخرى، ما هي أساليب البرهنة في الرياضيات ؟
هناك طريقتان يلجأ إليهما الرياضي في إثبات قضاياه وبنائها، وهما:
أ- الطريقة التحليلية ، وهي على نوعين :
* طريقة التحليل المباشر : وتقوم على إرجاع القضية المراد إثباتها ، إلى قضايا أخرى أبسط منها.
مثال: أوجِدْ مجهول المعادلة : س + 6 = 12
تطبيق البديهية القائلة بأن: "طرح كمية ثابتة من متساويين، لن يغير هذا الطرح من تساويهما".
فبطرحه للمقدار (6) من الطرفين.
س+ 6 – 6 = 12 – 6 ، يتعين له ما كان مجهولا وهو أن س= 6 .
* طريقة التحليل غير المباشر : ويدعى هذا التحليل غير المباشر بالبرهان بالخُلف .
ب- أما الطريقة التركيبية: اذا كان البرهان التحليلي انتقالا من النتائج الى الاسباب فالبرهان التركيبي يسير في الاتجاه المعاكس.اي الانتقال من الاسباب الى النتائج
مثال: لدينا دائرة مركزها ( م) ونصف قطرها م أ برهن على ان المثلث متساوي الساقين.
من تعريف الدائرة نستنتج ان م أ= م ب لانهما بدليل انهما انصاف اقطار وهم ضلعان من اضلاع المثلث إذن: المثلث: ا م ب متساوي الساق





ـ2\ من حيث النتائج.
إذا كان الفضول العلمي عموما ، يطمح إلى الوقوف على النتائج المتصفة بالدقة واليقين ، فإنه سيجد في الرياضيات ما يشفي غليله ؛ لأنها تمثل في ذلك ، النموذج المثالي للفكر الصحيح ، التي تنشدها تطلعات الفيلسوف والعالم : نقول الفيلسوف ، لأنه يرى فيها الحقيقة الثابتة والأزلية التي لا تتغير، والنهاية الضرورية والواضحة التي تفرض نفسها على العقل؛ ونقول العالم ، لأنه كان وما يزال يحوك على منوالها، كما هو الحال في الفيزياء والكيمياء.
فالمعرفة الرياضية معرفة قطعية ويقينية في خطتها ونتائجها كما أن هذه المعرفة تقوم على أساس من الالتزام بالمبادئ والأسس، وتتصف بوفائها المطلق لمبدأ الهوية الصارم.
ـ ثالثا: قيمة الرياضيات من حيث نتائجها (بفضل مبدأ الهوية) وبالنسبة للعلوم الأخرى.
( النقد)I. أزمة الرياضيات الكلاسيكية
إذا كانت الرياضيات عند اليونان تشمل الكم المنفصل (العدد) والكم المتصل (الهندسة)فإن المسلمين أعطوها دفعا قوي باكتشاف الخوارزمي الجبر ، فصيغت عبارات رياضية ليس لها مايقلبلها في الواقع.فبرز التساؤل التالي ما الفائدة من هذه الإنشاءات الصورية المجردة، وإلى أي مدى يجب الثقة بها ؟

ـثانيا: الرياضيات المعاصرة.
أ - النسق الاكسيوماتيكي (اللااقليدي):
وفي مجال الهندسة، تبين أنه ليس لدينا، أيُّ دليل عـقلي على أن المكان يتمتع بأبعاد ثلاثة: طول وعمق وعرض. لقد أعلن لوباتشفسكي ( N. I. Lobatchevsky ) عن هندسة خاصة، يكون فيها مجموع زوايا المثلث أقل من قائمتين، وهو يعتمد هنا على مصادرة، مفاداها أنه من نقطة خارج مستقيم، يمكن أن يمر أكثر من مواز، ذلك لأن المكان الذي يسلم به هذا العالم، هو مكان مقعَّر، وليس مسطحا. وقرَّر ريمان ( B. Riemann ) في سنة ( 1851 )، أن المكان كروي؛ وأنه تبعا لذلك، لا يمر من نقطة خارج مستقيم، أيُّ مواز، وأن مجموع زوايا المثلث يسـاوي أكثر من قائمتين. والعجيب أن هذه الهندسات كلَّها، ليست متناقضة على الرغم من أن المسلمات التي تستند إليها حول المتوازيات، ليست واحدة مشتركة. إن الهندسة الكلاسيكية التي كانت إلى القرن التاسع عشر، مأخوذة كيقينية مطلقة، تظهر كحالة خاصة من حالات الهندسة. وما كان يعتبر ثابتا أصبح متغيـرا. يقول " بولغان " ( Bouligand ): " إن كثرة الأنظمة في الهندسة، لدليل على أن الرياضيات ليس فيها حقائق مطلقة ". وما منطلقات الفكر الرياضي، إلا مجرد افتراضات تدعو إلى البرهنة الاستدلالية".
فظهور الهندسات اللاأوقليدية، جعل الرياضيين المحدثين، يعتبرون أي بناء رياضي مجرد نسق "فرضي استنباطي" أي يقوم على أسس افتراضية، لم يقدم البرهان أي شيء عن صحتها، وأن كل ما في الأمر ، هو وجود انسجام وتسلسل منطقي بينها وبين النتائج المترتبة عليها

ب - حدودها بالنسبة للمجال الحسي:
إن الحقائق الرياضية المتصفة باليقين، عندما تنزل إلى التطبيقات التجريبية، تفقد دقتها وتقع في "التقريبيات ". عندما أحاول مثلا، تقدير العدد (π) تقديرا حسابيا وعمليا، فإنه ينزل دون الدقة: فـ (π) = ( 3,14 ) أي 22 / 7؛ يساوي أكثر من ( 3,14 ).
ـ ثالثا : صلابتها بالنظر إلى سياقها ونسقها.
يرى هنري بوانكاريه إن تنوع الأنساق الرياضية تعدُّدٌ لا يقضي على يقين كل واحد منها، ما دمنا ننظر إلى الأوليات على أنها متواضَعة، وأنها ليست ضرورية لكل بناء أو أنها نهائية. لقد بيَّنت لنا الهندسات اللا أقليدية أنه " يمكن وضع غيرها أو حذف بعضها أو إضافة أخرى، ويبقى النسق الاستنباطي قائما". ولا يسقط بذلك. فتنوع الأنساق الرياضية لا يخلل بمصداقية الرياضيات، وكل نسق صحيح وصادق، لأنه ينطبق على الواقع المفترض بحدوده ومسلماته ونتائجه.
ثالثا : الحكمة الفلسفية من هذا الطرح :
لقد عرفنا إلى أي مدًى تتصف العلوم في نتائجها بالنسبية والاحتمال، وعرفنا متانة الرياضيات، رغم اختلافاتها ونسبيتها. إن السر الذي كشفت عنه فلسفة الرياضيات، هو استقرار الخيط الذي يصل المنطلقات بالمنتهيات، على أساس مبدأ الهوية أو مبدأ عدم التناقض.
***
س/ عن ماذا يبحث الرياضي و ماذا يلزمه للوصول إلى ذلك ؟ ج/ يبحث عن نتائج ويلزمه أن يتبع منهجا س/ ما هو المنهج الذي يتبعه الرياضي وما طبيعته ؟ ج / المنهج ذا طبيعة استدلالية استنتاجيه وهو البرهان س/ إذا ماذا يمثل البرهان ؟ ج / يمثل الطريقة التي يسلكها الرياضي في البرهنة على قضاياه الرياضية س/ لكن لكي تكون البرهنة صحيحة ومنطقية لا بد له من منطلقات يصرح بها مسبقا فما هي منطلقات المنهج الرياضي؟

لنأخذ الأمثلة التالية : الكل اكبر من الجزء . الكمان المساويان لكم ثالث متساويان
س/ ما طبيعة هذه القضايا ، وهل يمكن البرهنة عليها ولماذا ؟ ج/ هي قضايا رياضية لا يمكن البرهنة عليها لأنها صحيحة بذاتها س/ إذا ما قيمتها وما دورها ؟ هي قضايا يقوم عليها البرهان بماذا تعرف تعرف بالبديهية إذا ما هي البديهية
لنأخذ الأمثلة التالية : إذا كان السطح مستوي فانه لا يمكن رسم إلا مواز واحد من نقطة خارج مستقيم وإذا كان السطح محدب لا يمكن رسم ولا موازي واحد كما انه إذا كان السطح مقعر يمكن رسم مالا نهاية من المتوازيات ومن نقطة واحدة
س/ من يضع هذه القضايا ؟ ج/ يضعها الرياضي س/ هل يمكننا البرهنة عليها ومتى لا نبرهن عليها ؟ ج/ يمكننا البرهنة عليها لكن عند العمل بها لا نبرهن عليها س/ هل هي صحيحة في كل الأحوال ومن أين تستمد صحتها ؟ ج/ هي خاطئة خارج النسق وصحيحة ضمن النسق فيه س/ بماذا تعرف هذه القضايا وما تعريفها ؟
لنخذ الأمثلة التالية : المثلث هو حيز ذو ثلاثة أضلاع متقاطعة يشكل جموع زواياه 180درجة و النقطة هي ما ليس لها طول ولا عرض والمستقيم هو نقاط متتالية على استقامة واحدة
س/ ماذا فعلنا في هذه الحالة ؟ ج /عرفنا مجموعة من الاصطلاحات س/ لماذا يضعها الرياضي ؟ ج /لوضع حدود لقضاياه س/ هل هذه التعريفات قابلة للتغيير ولماذا؟ س/ قابلة للتغيير وفق المسلمات المنطلق منها ماذا يصطلح عليها وما تعريفها ؟
س/ إذا ماذا نستنتج ؟


س/ إذا وجود منطلقات يؤسس لوجود منهج ما طبيعته ؟ ج/ طبيعته استنتاجي برهاني س/ ما هدف المنهج ؟ ج/ هدفه بلوغ نتائج س/ لكن هل أساليب البرهنة واحدة ؟ هذا يدفعنا للتساؤل حول طريقة البرهان وأساليبه :
*لنأخذ المثال التالي: س+2 =0 جد قيمة س (س+2)- 2=0-2 س=-2
س/ ماذا فعلنا في هذه الحالة ؟ حللنا القضية استناد إلى البديهية القائلة بان طرح كمية ثابتة من طرفين متساويين لن يغير من تساويهما شيئا ما نوع هذا البرهان ؟
*لنأخذ المثال التالي : إذا كان ا//ب و ب//ج المطلوب :برهن أن ا//ج ج/ نفترض أن :ا#ب إذا ب#ج وهذا نقيض لما انطلقنا منه وهو نقيض كاذب وعليه ا//ب ب//ج إذا ا//ج س/ ماذا فعلنا وهل وصلنا إلى النتيجة مباشرة ؟ س/ حللنا القضية و وصلنا إلى النتيجة بطريق غير مباشر س/ ماذا نصطلح على هذا النوع من البرهان وما تعريفه ؟
* لنأخذ المثال التالي :حل جملة المعادلة التالية(س-2)(س-3)=0
س2-3س – 2س+6=0 س2-5-6=0 س/ ما طبيعة القضيتين المنطلق منهما وما طبيعة النتيجة ؟ س/ هما قضيتين بسيطتين والنتيجة مركبة جديدة س/ ماذا نصطلح على هذا البرهان وما تعريفه ؟



















س/ عندما نلاحظ البراهين السابقة كيف كانت النتائج المتوصل إليها ؟ ج/ كانت لازمة بالضرورة عن المنطلقات س/ هذا يمنحها صفة ماذا ؟ ج/ يمنحها صفة الدقة واليقين س/ عندما ننظر إلى انتقال الرياضي من قضية إلى أخرى كيف نجده ؟ ج/ نجده منطقيا س/ وبالتالي هو يعتمد على ماذا ج/ يعتمد على مبادئ عقلية س/ إذا ماذا نستنتج ؟

III – إلى أي حد يمكن القول بان للرياضيات حدودا ومآخذ ؟
س/ رأينا أن المعرفة الرياضية معرفة دقيقة ويقينية لكن لنأخذ المثال التالي 14÷3=4.66لكن عند ضرب 4.66×3 فإنها لاتعطينا العدد 14 ماذا نستنتج ج/ نستنتج أن الرياضيات ليست بالعلم الدقيق س/ هذا يقودنا إلى مشكلة في ماذا تتمثل ؟




ما هو النسق الأكسيومي ؟
ما مضمون هندسة ريمان ؟

ماذا اعتقد لوباشفسكي ؟
هل فعلا الأرض مسطحة كما كان يعتقد إقليدس؟














هل ظهور الرياضيات يسيء إلى اليقين الرياضي ؟
البعض رأى أنه يسيء إليها وهم أنصارالرياضيات الكلاسيكية
والبعض الآخر ضن أنه لا يسيء إليها
وإنما يجب توافق النتائج مع المقدمات وهم أنصار الرياضيات المعاصرة























ما هي الحكمة الفلسفية من هذا الطرح؟ محاولة حل المشكلة