الهندسة الفضائية
القدرات المنتظرة
*- تعرف وتمثيل أجزاء في الفضاء على المستوى.
*- إدراك حالات المماثلة وحالات اللامماثلة بين مفاهيم وخاصيات في المستوى ونظيراتها في الفضاء.
*- توظيف خاصيات الهندسة الفضائية في حل مسائل مستقاة من الواقع.
التوازي في الفضاء
-Iتذآير
-1التمثيل المستوي للأشكال في الفضاء
* الرسومات في الفضاء لا تحترم طبيعة الأشكال
* لرسم أشكال في الفضاء نتبع التقنية التالية
- الخطوط المرئية في الواقع نرسمها بخطوط متصلة
- الخطوط الغير المرئية في الواقع نمثلها بخطوط متقطعة
- المستقيمات المتوازية في الواقع نمثلها بمستقيمات متوازي في الرسم
- النقط المستقيمية تمثل بنقط مستقيمية في الرسم.
- قطعتان متقايستان حاملاهما متوازيان نمثلهما بقطعتين متقايستين حامليهما متوازيين
-2موضوعات و تعاريف
الفضاء مجموعة عناصرها تسمى نقط نرمز لها بالرمز) (E
المستقيمات و المستويات أجزاء فعلية من الفضاء
أ- موضوعة1
آل نقطتين مختلقتين Aو Bفي الفضاء تحدد مستقيما وحيد نرمز له بـ ( ) AB
تعريف
نقول عن عدة نقط أنها مستقيمية في الفضاء إذا آانت تنتمي إلى نقس المستقيم
ب- موضوعة2
آل ثلاث نقط غير مستقيمية Aو Bو Cفي الفضاء تحدد مستوى وحيد نرمز له بـ ( ) ABCأو ( ) P
تعريف
* نقول عن عدة نقط أنها مستوائية في الفضاء إذا آانت تنتمي إلى نقس المستوى.
* نقول عن مستقيمين ) أو مستقيمات ( أنهما مستوئيين) أو مستوائية( إذا آانا ) أو آانوا ( ضمن
نفس المستوى.
ج- موضوعة3
إذا انتمت نقطتان مختلفتان من مستقيم ) (Dإلى مستوى ) (Pفان ) (Dضمن ).(P
ملاحظة هامة
جميع خاصيات الهندسة المستوية تبقى صالحة في آل مستوى من مستويات الفضاء و آل مستقيم من
مستقيماته.
د- موضوعة4
إذا اشترك مستويان مختلفان في نقطة فانهما يتقاطعان وفق مستقيم يمر من هذه النقطة.
ذ- نتائج
نتيجة1
آل مستقيم ونقطة خارجه يحددان مستوى وحيدا في الفضاء
نتيجة2
آل مستقيمين متقاطعين في الفضاء يحددان مستوى وحيد في الفضاء
-3الأوضاع النسبية لمستقيم ومستوى
ليكن ) (Dمستقيم و ) (Pمستوى من الفضاء
لدينا ثلاث وضعيات ممكنة
الوضعية (D) :1يخترق )(P
الوضعية( ) D P ⊂ ( ) :2
الوضعية (D) :3و) (Pمنفصلان ) أي ليست لهما أية نقطة مشترآة(
-4الأوضاع النسبية لمستوييين في الفضاء
ليكن ) (Pو ( ) Qمستويين في الفضاء. لدينا ثلاث حالات
* ) (Pو ) (Qيتقاطعان وفق مستقيم
* ) (Pو ) (Qمنفصلان
) أي ليست لهما أية نقطة مشترآة(
* ) (Pو ) (Qمنطبقان
-5الأوضاع النسبية لمستقيمين مختلفين
ليكن ) (Dو ∆ ) ( مستقيمين مختلفين. هناك ثلاث حالات
* ) (Dو )∆( مستوئيان ومنفصلان
* ) (Dو )∆( مستوئيان ومتقاطعان
* ) (Dو )∆( غير مستوئيين
تمرين
ليكن EFGHرباعي الأوجه النقطة Iمن ] [FGمخالفة عن
Fو Gو النقطة Jمن ] [EGمخالفة عن Eو Gو النقطة Kمن ] [EHمخالفة عن Eو H
هل ) (EIو ( ) JKمتقاطعان
تمرين
مكعبABCDEFGH
حدد تقاطع ( ) ACGو ) (BDG
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
للبرهنة على استقامية نقط في الفضاء ، نبحث غالبا على مستويين متقاطعين و نبين أن هذه النقط مشترآة
تمرين ABCDرباعي الأوجه و Pو Qو Rنقط من ] [AB
و ] [ACو ] [ADحيث ) (PRيقطع ) (BDفي Jو ) (PQيقطع ( ) BCفي Kو ( ) QRيقطع ( ) CDفي I
أتبث أن Jو Kو Iمستقيمية
التوازي في الفضاء
-1المستقيمات المتوازية
أ- تعريف
نقول إن مستقيمين ) (Dو )∆( متوازيان في الفضاء إذا تحقق الشرطان التاليان
- أن يكون ( ) Dو ∆ ) ( مستوائيين
- أن يكون ( ) Dو ∆ ) ( منفصلان أو منطبقان
نكتب ) ( ) ∆ //(D
ملاحظة
لا يكفي أن يكون ( ) Dو ∆ ) ( منفصلين لكي يكون متوازيين
مثال
) (AEو ) (BCمنفصلان و لكن غير متوازيين.
( ) ( )
( ) ( )
//
//
BC AD
EF DC
ب- مبرهنة
من نقطة معلومة خارج مستقيم يمر مستقيم وحيد يوازيه في الفضاء
البرهان
لدينا ) (∉ A Dو بالتالي يوجد مستوى
وحيد ) (Pيحتوي على Aو ) (D
وحسب موضوعة اقليدس في المستوى ) ، (Pيمر مستقيم وحيد
)∆( يوازي ) (D
إذن ) (Dو ∆ ) ( متوازيان في الفضاء
ج- مبرهنة
آل مستقيمين متوازيين قطعا في الفضاء يحددان مستوى وحيدا
د- مبرهنة )نقبلها(
إذا احتوى مستويان متقاطعان على مستقيمين متوازيين قطعا فان تقاطعهما هو مستقيم مواز لهذين
المستقيمين.
ذ- مبرهنة
إذا آان مستقيمان متوازيين في الفضاء فن آل مستقيم يوازي أحدهما يوازي الآخر
ملاحظة
إذا آان مستقيمان متوازيين فكل مستوى يقطع أحدهما يقطع الآخر
تمرين
ليكن ABCDEهرما قاعدته متوازي أضلاع لتكن ' Bو' Cمنتصفي] [ABو] [ACعلى التوالي.
أنشئ الشكل
-1أتبث أن )' ( ) DE //(B 'C
-2ليكن )∆( تقاطع المستويين ) (ABCو ) (ADE
بين أن )' ( ) ∆ //(B 'C
-2توازي مستقيم و مستوى
أ-تعريف
يكون مستقيم ( ) Dموازيا لمستوى ) (Pإذا و فقط إذا آان ) (Dو ( ) Pمنفصلان أو ( ) Dضمن ( ) P
نكتب ) (// ( ) D P
ب- مبرهنة
يكون مستقيم ( ) Dموازيا لمستوى ) (Pإذا و فقط إذا وجد مستقيم ضمن ( ) Pيوازي ) (D
تمرين
ليكن ABCDEFGHمكعبا . Iو Jو Kمنتصفات ] [AB
و ] [EFو ] [HGعلى التوالي
أتبث أن ) (HIيوازي المستوى ) (JKC
-3توازي مستويين
أ- تعريف
يكون مستويان ( ) Pو ( ) Qمتوازيين في الفضاء إذا و فقط إذا آانا منطبقين أو منفصلين.
نكتب ) (// ( ) P Q
ملاحظة
إذا آان ) (// ( ) P Qفان آل مستقيم ضمن أحدهما يوازي المستوى الآخر.
ب- مبرهنة
يكون مستويان متوازيين في الفضاء إذا و فقط إذا اشتمل أحدهما على مستقيمين متقاطعين يوازيين
المستوى الآخر
ج- مبرهنة
إذا وازى مستويان مستوى ثالثا فانهما يكونان متوازيين
د- مبرهنة
من نقطة في الفضاء يمر مستوى و حيد مواز لمستوى معلوم
البرهان
ليكن ) (Pمستوى و Aنقطة في الفضاء
نعتبر ) (Dو ∆ ) ( متقاطعين ضمن المستوى ) (P
يوجد مستقيم وحيد ' ( ) Dمار من Aو يوازي ) (D
يوجد مستقيم وحيد ' ∆ ) ( مار من Aو يوازي )∆(
)' (Dو )' ∆( يحدان مستوى وحيد ) (Q
) (Qيوازي ( ) P
ذ- نتائج
- إذا توازى مستويان فان آل مستقيم يخترق أحدهما يخترق الآخر
- إذا توازى مستويان فان آل مستوى يقطع أحدهما يقطع الآخر
- إذا توازى مستويان فان آل مستقيم يوازي أحدهما يوازي الآخر
تمرين
ليكن ) (Pو ( ) Qمستويين متوازيين قطعا . نعتبر ) (∈ A P
و BCDمثلث ضمن . ( ) Qلتكن Iو Jو Kمنتصفات ] [ABو ] [ACو ] [ADعلى التوالي. المستقيم
) (CKيخترق المستوى ( ) Pفي . R
-1أنشئ الشكل
-2أتبث أن المستوى ) (IJKيوازي ) (P
-3أتبث أن ) ( ) CD //(AR
تمرين
ليكن ABCDEFGHمتوازي المستطيلات و Iمنتصف] [GH
(EI ) ( ∩ = FH ) {M } - لتكن1
بين أن المستويين ) (AEIو ) (AFHيتقاطعان وفق ) (AM
-2أ- بين أن النقط Eو Fو Dو Cمستوائية
ب- بين أن ) ( ) CF //(DE
( ) CFH //(BDE ) - بين أن3
-4بين أن ) (CIيخترق المستوى ) (AD