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Les chaînes et les cycles

Une chaîne est une suite d'arêtes consécutives dans un graphe, un peu comme si on se promenait sur le graphe. On la désigne par les lettres des sommets qu'elle comporte.

Une chaîne simple est une chaîne qui ne passe pas deux fois par la même arête.

Un cycle est une chaîne qui commence et se termine au même sommet.

Un cycle simple est un cycle dans lequel chaque arête est utilisée une seule fois.

• La distance entre deux sommets
  
• La longueur d'une chaîne
  
• Les chaînes et les cycles eulériens
  
• Les chaînes et les cycles hamiltoniens
  

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La distance entre deux sommets

La distance entre deux sommets est donnée par la longueur de la chaîne la plus courte les reliant.

Il existe souvent plusieurs chaînes pouvant lier deux sommets. Pour déterminer la distance entre les sommets, on choisit donc la chaîne dont la longueur est la plus petite.

La distance entre les sommets A et B s’écrit d(A,B).


La distance entre les sommets A et C sera exprimée ainsi :

d(A,C) = 2

La distance est de 2, car on doit franchir au minimum deux arêtes pour passer du sommet A au sommet C.

La longueur d'une chaîne

La longueur d’une chaîne est déterminée par le nombre d’arêtes qui sont parcourues dans une promenade. La même arête peut donc être répétée quand on donne la longueur d’une chaîne.
La longueur est toujours égale au nombre de sommets de la chaîne -1.
 
Longueur = 2

Longueur = 5

Longueur = 6
 

Les chaînes et les cycles eulériens

Une chaîne eulérienne est une chaîne qui parcourt toutes les arêtes d’un graphe connexe une et une seule fois.
 
On peut demander s’il est possible de parcourir tel trajet en n’empruntant jamais deux fois la même route :


On voit que c’est possible en partant de Trois-Rivières ou Drummondville, mais pas en partant de Québec ou Montréal. Exemple : (T-Q-D-T-M-D)
 
Pour qu’un graphe comporte une chaîne eulérienne, il faut qu’il possède exactement 2 sommets de degré impair. Ces sommets sont situés au début et à la fin de la chaîne.
 
Lorsque la chaîne eulérienne est fermée, on l’appellera cycle eulérien. C’est donc un cycle qui passe par toutes les arêtes et qui revient à son point de départ.
 
Le cycle eulérien exige que tous les sommets du graphe soient de degré pair.

 

ABCDECA est un cycle eulérien.
Il passe une seule fois par tous les sommets du graphe.

Les chaînes et les cycles hamiltoniens

Une chaîne ou cycle hamiltonien(ne) est une chaîne ou un cycle qui passe par tous les sommets d’un graphe connexe une et une seule fois. Les chaînes hamiltoniennes sont fréquemment utilisées pour résoudre des problèmes d’optimisation (par exemple, trouver le chemin le plus court. Le problème du voyageur en est un bon exemple, voir la référence plus bas).
 
Hormis par intuition ou par essais et erreurs, la seule règle que l’on connaisse pour déterminer la présence de cycles hamiltoniens dans un graphe connexe est la suivante.

Il y a un cycle hamiltonien dans tout graphe dont chaque sommet est relié à au moins la moitié des autres sommets.
 
Cette règle n’est pas restrictive, c’est-à-dire qu’on peut trouver des graphes qui ne répondent pas à cette condition et qui comportent néanmoins une chaîne hamiltonienne.
 

Chaîne hamiltonienne : FDEABCG
Cycle hamiltonien : FDEABCGF[/size]