E.P.S.T. d’Oran.
Algèbre 3 / Année universitaire 2011-2012.
Série d’exercices N± 02
Réduction des endomorphismes II
Exercice 1. Déterminer les suites (un), (vn) satisfaisant le système :
½
un+1 = 5un ¡ 3vn
vn+1 = 6un ¡ 6vn
Exercice 2. Soit A une matrice carrée d’ordre n, n > 1, telle que
½
(A ¡ 2I)5 = 0
(A ¡ 2I)2 6= 0
A est-elle diagonalisable ?
Exercice 3. Soient E un espace vectoriel de dimension n, n 2 N¤, L(E) l’espace
des endomorphismes de E et p un projecteur de rang r de E. On définit un
endomorphisme F : L(E) ! L(E) par
8f 2 L(E); F(f) = 1=2(p ± f + f ± p):
(1) Calculer F2 et F3.
(2) Déterminer un polynôme de degré 3 annulant F.
(3) En déduire que F est diagonalisable.
Exercice 4. On considère les suites (un), (vn) et (wn) définies par :
8>><
>>:
un+1 = ¡2un ¡ 2vn ¡ wn
vn+1 = 4un + 3vn
wn+1 = ¡3un ¡ 2vn
u0 = v0 = w0 = 1
et la matrice A définie par
A =
0
@
¡2 ¡2 ¡1
4 3 0
¡3 ¡2 0
1
A
(1) Calculer le polynôme caractéristique de A et déterminer ses racines.
(2) Calculer An par le théorème de Cayley-Hamilton.
(3) En déduire un, vn, wn en fonction de n.
Exercice 5. On considère sur R le système différentiel suivant : 8<
:
x0 = 7x ¡ 3y ¡ 4z
y0 = ¡4x + 6y + 4z
z0 = 5x ¡ 3y ¡ 2x
On pose A =
0
@
7 ¡3 ¡4
¡4 6 4
5 ¡3 ¡2
1
A.
(1) Digonaliser A.
(2) Résoudre le système.
1

شكرا

بارك الله فيك

{السلام عليكم ورحمة الله}

{لك كل الشكر والتقدير على مجهودك الرائع والمميز}