) نهـاية منتهية عند
عدد حقيقي. و دالة معرفة على مجال من الشكل تعريـف:
كبير من أجل يشمل كل القيم إذا كان كل مجال مفتوح شامل للعدد هي عند أن نهاية نقول
بالقدر الكافي.
نكتب: ونقرأ: يؤول إلى عندما يؤول إلى .

ملاحظات:
1) تكافئ
بيانيا هذا يعني أن عندما ينتهي إلى ،
البعد MP ينتهي إلى 0.
المستقيم ذو المعادلة مستقيم مقارب أفقي
للمنحني الممثل للدالة عند .
2) نحصل على تعريف و نتيجة مماثلة عند .

تمرين تطبيقي:
لتكن الدالة المعرفة على المجال بـ :
أثبت باستعمال التعريف أن: .

الـحـل:
ليكن حيث ) مجال مفتوح يشمل العدد 0 (
من أجل من المجال ، يكون لدينا:
يعني و
أي و
ومنه و
ومنه و
إذن و
وبالتالي
نستنتج أنه من أجل كبير بالقدر الكافي ، المجال يشمل كل قيم .
إذن

: أو عند ) نهـاية غير منتهية عند 2
. دالة معرفة على مجال من الشكل تعريـف1:
من أجل يشمل كل القيم ( R) إذا كان كل مجال من الشكل هي عند أن نهاية نقول
كبير بالقدر الكافي.
نكتب: ونقرأ: يؤول إلى عندما يؤول إلى .


. دالة معرفة على مجال من الشكل تعريـف2:
من أجل يشمل كل القيم( R) إذا كان كل مجال من الشكل هي عند أن نهاية نقول
كبير بالقدر الكافي.
نكتب: ونقرأ: يؤول إلى عندما يؤول إلى .

. نحصل على تعريفين مماثلين عند ملاحظـة:
تمرين تطبيقي:
لتكن الدالة المعرفة على المجال بـ :
أثبت باستعمال التعريف أن: .

الـحـل:
ليكن عددا حقيقيا موجبا.
من أجل من المجال ، يكون لدينا:
يعني
أي
ومنه
إذن
نستنتج أنه من أجل كبير بالقدر الكافي ، المجال يشمل كل قيم .
إذن

3) نهـاية منتهية عند عدد حقيقي:
عدد حقيقي . و دالة معرفة على مجموعة من الشكل تعريـف:
قريب من أجل يشمل كل القيم إذا كان كل مجال مفتوح شامل للعدد هي عند أن نهاية نقول
بالقدر الكافي من .
نكتب: ونقرأ: يؤول إلى عندما يؤول إلى .

تمرين تطبيقي:
لتكن الدالة المعرفة على المجال بـ :
نريد دراسة سلوك عندما يؤول إلى .
1) ضع تخمينا.
؟ إلى المجال بحيث ينتمي 2) في أي مجال يجب إختيار
. عدد حقيقي حيث 3)
أ) في أي مجال يجب إختيار بحيث ؟
ب) ماذا نستنتج علما أنه يمكن إختيار صغيرا بالقدر الذي نريد ؟
الـحـل:
1) يبدو أنه كلما اقترب من ، اقترب من أي من .
2) يعني
أي
ومنه
ومنه
وبالتالي
إذن
3 (أ) يعني
أي
ومنه
ومنه
وبالتالي
إذن
ب) عندما نختار صغيرا بالقدر الذي نريد، يكون قريبا من بالقدر الكافي وبالتالي يكون قريبا من
بالقدر الذي نريد.
إذن

4) نهـاية غير منتهية عند عدد حقيقي:
. دالة معرفة على مجموعة من الشكل تعريـف:
من أجل يشمل كل القيم ( R) إذا كان كل مجال من الشكل هي عند أن نهاية نقول
قريب بالقدر الكافي من .
نكتب: ونقرأ: يؤول إلى عندما يؤول إلى .

مثـال:
لتكن الدالة المعرفة على بـ :
عندما يقترب من بالقدر الكافي ، تأخذ قيما كبيرة بالقدر الذي نريد ، عندئذ يكون لدينا:


5) تتـمات على النهـايـات:
- بعض نهـايـات الـدوال المرجعية: 1
، ،


، ، ،


، ، ،


2- العمليات على النهـايـات: و دالتان. يمثل عدد حقيقي أو أو .
عددان حقيقيان. و

* نهـاية مجموع دالتين:



















ح ع ت




عددان حقيقيان. و * نهـاية جداء دالتين:




























ح ع ت ح ع ت










. عددان حقيقيان حيث و * نهـاية حاصل قسمة دالتين:



























ح ع ت ح ع ت ح ع ت ح ع ت ح ع ت










تمرين تطبيقي :
أحسب النهايات التالية:
(1 (4

(2 (5

(3 (6

الـحـل:
1)

2)

إذن

)3

)4

إذن

)5



إذن

6)



إذن

3- النهـايـات بالمقارنة:
عدد حقيقي. ثلاث دوال و و ، مبرهنة1:
إذا كانت و وإذا كان من أجل كبير بالقدرالكافي ،

فإن .

وعند عدد حقيقي. تمدد هذه المبرهنة إلى حالتي النهاية عند ملاحظـة:
تمرين تطبيقي:
لتكن الدالة المعرفة على بـ :
1) بين أنه من أجل كل من :

2) استنتج نهاية الدالة عند وعند .

الـحـل:
1) من أجل كل من : ومنه
ومنه
إذن
وبالتالي
2) من أجل كل من ، لدينا:
بماأن و فإن

بماأن و فإن

دالتان و مبرهنة2:
إذا كانت وإذا كان من أجل كبير بالقدر الكافي، فإن .

وعند عدد حقيقي. تمدد هذه المبرهنة إلى حالتي النهاية عند ملاحظـة:
تمرين تطبيقي:
لتكن الدالة المعرفة من أجل كل عدد حقيقي حيث بـ :
1) بين أنه إذا كان فإن :
2) استنتج نهاية الدالة عند .
الـحـل:
1) لدينا ومنه أي .
وبالتالي
إذن:
2) من أجل لدينا .
ومنه:
إذن:
وبماأن : إذن

دالتان و مبرهنة3:
إذا كانت وإذا كان من أجل كبير بالقدرالكافي، فإن .

وعند عدد حقيقي. تمدد هذه المبرهنة إلى حالتي النهاية عند ملاحظـة:
تمرين تطبيقي:
1) بين أنه من أجل كل عدد حقيقي يكون:
2) أحسب .

الـحـل:
1) لدينا من أجل كل عدد حقيقي ،
ومنه من أجل كل من R،
وبالتالي من أجل كل عدد حقيقي ،
2) لدينا من أجل كل من R،
ومنه من أجل كل كبير بالقدر الكافي :
وبماأن فإن

4- نهاية دالة مركبة:
. دوال حيث و ، . أو تمثل أعدادا حقيقية أو و ، مبرهنة:
إذا كانت و فإن

تمرين تطبيقي1:
نعتبر الدالة المعرفة على *R بـ:
أدرس نهاية الدالة عند و عند .
الـحـل:
الدالة هي مركب الدالتين و بهذا الترتيب أي حيث : و
بماأن و فإن

بماأن و فإن

تمرين تطبيقي2:
نعتبر الدالة المعرفة على *R بـ:
أدرس نهاية الدالة عند .
الـحـل:
الدالة هي مركب الدالتين و بهذا الترتيب أي حيث : و
بماأن و فإن

) المستقيمات المقاربة:6
1 / المستقيمات المقاربة الموازية لأحد محاور الإحداثيات :
و عددان حقيقيان. دالة معرفة على مجال من R و تمثيلها البياني في معلم متعامد .

الـنهـايــة معادلة المستقيم المقارب
للمنحني هي

أو


أو